POJ1061-青蛙的约会-扩展欧几里得

扩展欧几里得算法

是欧几里得算法（又叫辗转相除法）的扩展。除了计算a、b两个整数的最大公约数，此算法还能找到整数x、y（其中一个很可能是负数）。通常谈到最大公因子, 我们都会提到一个非常基本的事实: 给予二整数 a 与 b, 必存在有整数 x 与 y 使得ax + by = gcd(a,b)。有两个数a,b，对它们进行辗转相除法，可得它们的最大公约数——这是众所周知的。然后，收集辗转相除法中产生的式子，倒回去，可以得到ax+by=gcd(a,b)的整数解。 -----百度百科

POJ1061

青蛙的约会

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4
由题意为求解一个不定方程:(n-m)*t+k*l=x-y;

代码:

#include"stdio.h"
using namespace std;
typedef long long ll;
ll gcd(ll a,ll b){
if(b==0)
return a;
else
return gcd(b,a%b);
}
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
if(b==0){
x=1;y=0;
return a;
}
ll r=exgcd(b,a%b,x,y);
ll t=y;
y=x-(a/b)*y;
x=t;
return r;
}
int main(){
ll x,y,m,n,l,d;
ll a,b,c,r,t1,t2;     //(n-m)*t+k*l=x-y;
while(~scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l)){
a=n-m;
b=l;
r=x-y;
c=gcd(a,b);
if(r%c!=0){
printf("Impossible\n");
continue;
}
else
d=exgcd(a,b,t1,t2);
t1=r*t1/d;
t1=(t1%(b/d)+(b/d))%(b/d);
printf("%lld\n",t1);
}
return 0;
}

解释代码

首先是介绍欧几里得算法(辗转相除法)求最大公约数:

Acm之家这个网站上也有详解扩展欧几里得算法。

特解为gcd(a,0)=a;

代码:

int gcd(int a,int b){
if(b==0) return a;
else return gcd(b,a%b);
}

gcd(a,b)=gcd(b,a%b);
a,b == b,a%b;

假设:最大公约数为d;

a%d=0;b%d=0;
a=k*b+r;
a%b==r;
r=a-k*b;

r%d=0;

r=a-k*b;

r=a mod b;r=a-(a/b)*b; ==>>k=a/b; //这里想错了。。。a/b是整除，不是除法，为取整。

r=a-a/b*b=a%b;

扩展欧几里得求的是a*x+b*y=gcd(a,b)这个方程的解。

但是要求的是a*x+b*y=r这个解。

t1=r*t1/ans;(上面代码里的)。

ll ans=exgcd(a,b,t1,t2);这个求出来的t1是a*x+b*y=gcd(a,b)的解，t1就是x。

要求的是a*x+b*y=r。

a*x+b*y=gcd(a,b) ==>>a*x+b*y=gcd(a,b)/r*r(除以r再乘回来) 。

把gcd(a,b)/r移到左边，为a*(x/gcd(a,b)*r)+b*(y/gcd(a,b)*r)=r。

所以把a*x+b*y=gcd(a,b)求到的解x=(x/gcd(a,b)*r)就是a*x+b*y=r的解

就是t1=r*t1/ans;

因为要求的是最小解，现在x是等于(x/gcd(a,b)*r)。

a*x+b*y=r已经求到了这个的特解。

a*(x+k*b)+b*(y-k*a)=r那么x的解满足x0=x+k*b这个形式。但是这个不是最简的，因为a,b是有公约数的。

a*(x+k*b/gcd(a,b))+b*(y-k*a/gcd(a,b))=r这个是最简的。

x0=x+k*b/gcd(a,b)求x0的最小正整数。

最小正整数解x0=(x%s+s)%s; s=b/gcd(a,b);

t1=(t1%(b/ans)+(b/ans))%(b/ans);

剩下的就好理解了。

老是错，最后知道哪里错了，把continue忘了。。。