拉格朗日对偶问题与KKT条件

本篇是写在SVM之前的关于优化问题的一点知识，在SVM中会用到。考虑到SVM之复杂，将其中优化方面基础知识提出，单作此篇。所以，本文也不会涉及优化问题的许多深层问题，只是个人知识范围内所了解的SVM中涉及到的优化问题基础。

一、凸优化问题

在优化问题中，凸优化问题由于具有优良的性质（局部最优解即是全局最优解），受到广泛研究。

对于一个含约束的优化问题：

{minxf(x)s.t.x∈C

其中，f(x)

为一个凸函数，变量x
的可行域C
是一个凸集，那么这个优化问题称为一个凸优化问题。

将上面的约束条件的形式更加明确一点，一个凸优化问题可以写成：

⎧⎩⎨⎪⎪minxf(x)s.t.gi(x)≤0hi(x)=0

其中，f(x)

当然仍然为一个凸函数，但对约束条件有一定要求：gi(x)
是凸函数；hi(x)
为仿射函数。这样的要求当然是为了保证可行域是一个凸集。

不等式约束中gi(x)

为凸函数，而凸函数的水平截集{x|gi(x)≤α}
是一个凸集(凸函数的性质)，这就使得不等式约束保证了可行域为凸集；

对于等式约束hi(x)=0

可以写成：

{hi(x)≤0hi(x)≥0

要使得满足条件的x

组成的集合为凸集，就要求hi(x)
既是一个凸函数，又是一个凹函数，这样hi(x)
便只能是仿射函数了。

以上便是凸优化问题的一般形式。常见的线性规划、二次规划、二次约束二次规划等优化问题都是凸优化问题。

二、拉格朗日对偶

抛开凸优化问题，回到一般的优化问题。

一般的优化问题可以写成以下形式：

⎧⎩⎨⎪⎪minxf(x)s.t.gi(x)≤0hi(x)=0

当然，这里对f(x)

、gi(x)、hi(x)
都是没有要求的。

根据拉格朗日方法，对应的拉格朗日函数为：

L(x,α,β)=f(x)+∑iαigi(x)+∑iβihi(x)

其中α

、β为拉格朗日乘数（都是向量，其长度分别对应于不等式约束和等式约束的个数），且αi≥0、β
任意。

定义函数：

θP(x)=maxα,β:αi≥0L(x,α,β)

容易发现：

θP(x)={f(x)+∞gi(x)≤0&hi(x)=0gi(x)>0||hi(x)≠0

如果原来的约束条件都满足那么L(x,α,β)=f(x)+∑iαigi(x)+∑iβihi(x)

，最后一项为零，第二项要取得最大值，由于gi(x)≤0，所以只能取α=0⃗
，使其取得最大值0，这样
θP(x)=maxα,β:αi≥0L(x,α,β)=f(x)

如果违背了原来的约束条件，比如存在某一个约束gi(x)>0

，那么可以取αi
任意大，这样θP(x)=+∞。违反等式约束hi(x)=0
的情况是类似的。

所以可以认为θP(x)

是对原理优化问题中的约束条件进行了吸收，是原来的约束优化问题变为无约束优化问题（相对于原来变量x
无约束了），即原来的优化问题可以写成：

minxθP(x)=minxmaxα,β:αi≥0L(x,α,β)(1)

现在，称（1）为原问题，这和最初的有约束问题是等价的。
将（1）中min和max交换顺序得到对偶问题：

maxα,β:αi≥0θD(α,β)=maxα,β:αi≥0minxL(x,α,β)(2)

其中

θD(α,β)=minxL(x,α,β)

记p∗

为原问题的最优解，对应最优解的最优变量取值为x∗，则p∗=f(x∗)
；

记d∗

为对偶问题的最优解，对应最优解的最优变量取值为α∗、β∗，则d∗=θD(α∗,β∗)
。

下面来说明d∗≤p∗

。

对于任意α,β

（α≥0
）：

θD(α,β)=minxL(x,α,β)≤L(x∗,α,β)=f(x∗)+∑iαigi(x∗)+∑iβihi(x∗)≤f(x∗)=p∗

第一个不等号成立是显然的，这是由minxL(x,α,β)

的定义直接得到的；第二个不等号成立是因为x∗
是一个可行解，所以约束条件gi(x)≤0
和hi(x)=0
都满足，所以∑iαigi(x∗)≤0
、∑iβihi(x∗)=0
。

由于以上推导过程中α

、β的任意性，所以d∗=θD(α∗,β∗)≤p∗
，所以求解对偶问题是在最大化原问题最优解的下界。

通常，对偶问题相对于原问题有比较好的形式（有看到“无论原问题形式如何，对偶问题都是一个凸优化问题”的说法，但没见过证明。），这样，当原问题不好求解时，可以转而求解对偶问题。问题是一般情况下有d∗≤p∗

，所以求解对偶问题只能得到原问题解的下界，不能保证d∗=p∗
。

当原问题满足一些条件时，可以保证d∗=p∗

。

Slater条件：存在x

，使得不等式约束gi(x)≤0严格成立，即gi(x)<0
。

当原问题为一凸优化问题，且满足Slater条件时，有d∗=p∗

，这样就原问题和对偶问题的解一致，求解对偶问题即可。显然，Slater是凸优化问题与其对偶问题等价的一个充分条件。

KKT条件是原问题与对偶问题等价的必要条件。考虑一般优化问题（不一定是凸优化），如果有d∗=p∗

，则：

d∗=θD(α∗,β∗)=minxL(x,α∗,β∗)≤L(x∗,α∗,β∗)=f(x∗)+∑iαi∗gi(x∗)+∑iβi∗hi(x∗)≤f(x∗)=p∗

由于d∗=p∗

，所以上面推导过程中所以的不等号“≤
”应该取到等号。第一个等号得到minxL(x,α∗,β∗)=L(x∗,α∗,β∗)，这说明x∗
是L(x,α∗,β∗)的一个极值点，所以L(x,α∗,β∗)在x∗
处的偏导为零，∂L(x,α∗,β∗)∂x|x∗=0
；第二个等号得到f(x∗)+∑iαi∗gi(x∗)+∑iβi∗hi(x∗)=f(x∗)，所以∑iβi∗hi(x∗)=0、∑iαi∗gi(x∗)=0。∑iβi∗hi(x∗)=0是显然的，因为根据约束条件本来就有hi(x∗)=0，重点是原本的∑iαi∗gi(x∗)≤0
现在取到了等号。

综合以上两点，在加上原来的约束，可以得到KKT条件：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪∂L(x,α∗,β∗)∂x|x∗=0∑iαi∗gi(x∗)=0αi∗≥0gi(x∗)≤0hi(x∗)=0

KKT条件是d∗=p∗

的必要条件，给出了当原问题和对偶问题等价时对应最优值点所满足的性质。

尽管KKT条件是d∗=p∗

的必要条件，但当原问题是凸优化问题时，它就升级为充要条件，也就是只要找到x∗,α∗,β∗
满足以上五个条件，那么原问题就和对偶问题就有相同的解，分别在x∗和(α∗,β∗)
处取得。

另外，根据KKT条件中的∑iαi∗gi(x∗)=0

可以得到，gi(x∗)<0⇒αi∗=0，反过来说，只有gi(x∗)=0，αi∗才有可能不为0，这是SVM中用到的一个重要性质。