[Anti-Nim Anti-SG SJ定理] BZOJ 1022 [SHOI2008]小约翰的游戏John

我们直接分析吧

Nim博弈中如果规定最后取光者输，情况是怎样的？

初看起来问题要复杂很多（因为不能主动拿了，而要“躲着”拿，以免拿到最后一个物品），但对于Nim游戏来说，几乎是一样的：首先按照普通规则一样的策略进行，直到恰好有一个物品数大于1的堆x。在这样的情况下，只需要把堆x中的物品拿得只剩1个物品或者拿完，让对手面临奇数堆物品，这奇数堆物品每堆恰好1个物品。这样的状态显然是必败的。由于你每次操作后需要保证Nim和为0，因此不可能在你操作后首次出现“恰好有一个物品数大于1的堆”。

所以我们得出了这样的结论

先手必胜当且仅当

所有堆的石子数都为 1 且游戏的 SG 值为 0；

有些堆的石子数大于 1 且游戏的 SG 值不为 0。

进而贾志豪在论文中提出了针对Anti-SG的SJ定理

对于任意一个 Anti-SG 游戏

如果我们规定当局面中所有的单一游戏的 SG 值为 0 时，游戏结束

则先手必胜当且仅当

游戏的 SG 函数不为 0 且游戏中某个单一游戏的 SG 函数大于 1

游戏的 SG 函数为 0 且游戏中没有单一游戏的 SG 函数大于 1。

注意当局面中所有的单一游戏的 SG 值为 0 时，游戏结束这一前提内容 但他太苛刻了 我见过只有nim是符合的吧

网上有个广为流传的ANTI-SG题 HDU 3590 PP and QQ

但这一做法是错的

这一游戏根本没有满足那个强的前提条件

手撸一组数据就叉掉了

1

5

1 2

2 3

1 4

4 5

但发现原来毕姥爷早就有留言了

扯远了 上1022的代码

#include<cstdio>
using namespace std;

int main(){
int T,n,f,a,s;
scanf("%d",&T);
while (T--){
scanf("%d",&n);
f=s=0;
for (int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d",&a),s^=a,f|=a>1;
if ((!f && n%2==1) || (f && s==0))
printf("Brother\n");
else
printf("John\n");
}
return 0;
}