最大子矩阵和(HD 1559,DP,给定子矩阵行列,O(n^2))
2017-02-27 18:03
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最大子矩阵
Time Limit: 30000/10000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768
K (Java/Others)
Total Submission(s): 2895 Accepted Submission(s): 1451
Problem Description
给你一个m×n的整数矩阵,在上面找一个x×y的子矩阵,使子矩阵中所有元素的和最大。
Input
输入数据的第一行为一个正整数T,表示有T组测试数据。每一组测试数据的第一行为四个正整数m,n,x,y(0<m,n<1000
AND 0<x<=m AND 0<y<=n),表示给定的矩形有m行n列。接下来这个矩阵,有m行,每行有n个不大于1000的正整数。
Output
对于每组数据,输出一个整数,表示子矩阵的最大和。
Sample Input
1
4 5 2 2
3 361 649 676 588
992 762 156 993 169
662 34 638 89 543
525 165 254 809 280
Sample Output
2474
Author
lwg
我的思路:
先想直接枚举所有符合要求的x,y矩阵求和找最大,枚举的过程时间复杂度是O(n^2) ,如果重头求和,又是O(n^2)级别的,因为矩阵行列可以到1000,这就会超时了。
因为求和的过程许多行列是重复使用的,所以想能否用之前一步求和的结果来求下一步或者递推得到。
过程如下:
现在有一个4行5列的矩阵,我们用dp[3][4]代表前三行四列共12个数的和,用递推式可以求得该值:
dp[3][4]=dp[2][4]+dp[3][3]-dp[2][3]+a[3][4]
因为本题给了矩阵的行列长,所以对dp进行枚举,只要dp的i,j大于等于x,y,就对右下角符合要求的矩阵求和,并且这个矩阵的和可以通过dp递推得到:
所求右下角矩阵和=dp[i][j]-dp[i-x][j]-dp[i][j-y]+dp[i-x][j-y]
代码示例:
//Author:Feynman1999
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[1010][1010];//dp表示矩阵和(以现行列所表示点为右下角)
int MAX;//记录结果
int REMAX(int a,int b)
{
return(a>b?a:b);
}
int main()
{
int T,m,n,x,y;
cin>>T;
while(T--)
{
MAX=-1;
memset(dp,0,sizeof(dp)); //#include不要忘记
cin>>m>>n>>x>>y;
for(int i=1;i<=m;++i)
for(int j=1;j<=n;++j){
cin>>dp[i][j];//这里是本题的关键,dp暂存右下角元素
dp[i][j]+=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]-dp[i-1][j-1];//最后一项是暂存的右下角元素
//现在dp[i][j]是矩阵和了
if(i>=x&&j>=y)
{
MAX=REMAX(MAX,dp[i][j]-dp[i-x][j]-dp[i][j-y]+dp[i-x][j-y]);
}
}
cout<<MAX<<endl;
}
return 0;
}
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K (Java/Others)
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Problem Description
给你一个m×n的整数矩阵,在上面找一个x×y的子矩阵,使子矩阵中所有元素的和最大。
Input
输入数据的第一行为一个正整数T,表示有T组测试数据。每一组测试数据的第一行为四个正整数m,n,x,y(0<m,n<1000
AND 0<x<=m AND 0<y<=n),表示给定的矩形有m行n列。接下来这个矩阵,有m行,每行有n个不大于1000的正整数。
Output
对于每组数据,输出一个整数,表示子矩阵的最大和。
Sample Input
1
4 5 2 2
3 361 649 676 588
992 762 156 993 169
662 34 638 89 543
525 165 254 809 280
Sample Output
2474
Author
lwg
我的思路:
先想直接枚举所有符合要求的x,y矩阵求和找最大,枚举的过程时间复杂度是O(n^2) ,如果重头求和,又是O(n^2)级别的,因为矩阵行列可以到1000,这就会超时了。
因为求和的过程许多行列是重复使用的,所以想能否用之前一步求和的结果来求下一步或者递推得到。
过程如下:
现在有一个4行5列的矩阵,我们用dp[3][4]代表前三行四列共12个数的和,用递推式可以求得该值:
dp[3][4]=dp[2][4]+dp[3][3]-dp[2][3]+a[3][4]
因为本题给了矩阵的行列长,所以对dp进行枚举,只要dp的i,j大于等于x,y,就对右下角符合要求的矩阵求和,并且这个矩阵的和可以通过dp递推得到:
所求右下角矩阵和=dp[i][j]-dp[i-x][j]-dp[i][j-y]+dp[i-x][j-y]
代码示例:
//Author:Feynman1999
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[1010][1010];//dp表示矩阵和(以现行列所表示点为右下角)
int MAX;//记录结果
int REMAX(int a,int b)
{
return(a>b?a:b);
}
int main()
{
int T,m,n,x,y;
cin>>T;
while(T--)
{
MAX=-1;
memset(dp,0,sizeof(dp)); //#include不要忘记
cin>>m>>n>>x>>y;
for(int i=1;i<=m;++i)
for(int j=1;j<=n;++j){
cin>>dp[i][j];//这里是本题的关键,dp暂存右下角元素
dp[i][j]+=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]-dp[i-1][j-1];//最后一项是暂存的右下角元素
//现在dp[i][j]是矩阵和了
if(i>=x&&j>=y)
{
MAX=REMAX(MAX,dp[i][j]-dp[i-x][j]-dp[i][j-y]+dp[i-x][j-y]);
}
}
cout<<MAX<<endl;
}
return 0;
}
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