相关系数，互相关函数，协方差，卷积

 
X(t)为随机过程，a(t)=E(X(t))为期望，Y(t)为另一随机过程
自相关函数的定义为：
R(s,t)=E(X(s)*X(t))
互相关函数的定义为：
R(s,t)=E(X(s)*Y(t))
事实上，在图象处理中，自相关和互相关函数的定义如下：设原函数是f(t)，则自相关函数定义为R(u)=f(t)*f(-t)，其中*表示卷积；设两个函数分别是f(t)和g(t)，则互相关函数定义为R(u)=f(t)*g(-t)，它反映的是两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度。

协方差函数定义为：
B(s,t)=E(X(s)-a(s))(X(t)-a(t))
若X(t)=Y(t)+i*Z(t)，Y,Z为实过程，则称X(t)为复随机过程，相关函数定义为：
B(s,t)=E(X(s)-a(s))(X(t)-a(t))（后一个括号取共轭）
相关函数两个本质特性：
1）共轭对称：B(s,t)=B(t,s)的共轭
2）非负定：对任意的n>=1，t1……tn属于T,n个复数Z1,Z2……，Zn，有
 

那么，如何在matlab中实现这两个相关并用图像显示出来呢？

dt=.1;

t=[0:dt:100];

x=cos(t);

[a,b]=xcorr(x,'unbiased');

plot(b*dt,a)

上面代码是求自相关函数并作图，对于互相关函数，稍微修改一下就可以了，即把[a,b]=xcorr(x,'unbiased');改为[a,b]=xcorr(x,y,'unbiased');便可。

2. 实现过程：

      在Matalb中，求解xcorr的过程事实上是利用Fourier变换中的卷积定理进行的，即R(u)=ifft(fft(f)×fft(g))，其中×表示乘法，注：此公式仅表示形式计算，并非实际计算所用的公式。当然也可以直接采用卷积进行计算，但是结果会与xcorr的不同。事实上，两者既然有定理保证，那么结果一定是相同的，只是没有用对公式而已。下面是检验两者结果相同的代码：

dt=.1;

t=[0:dt:100];

x=3*sin(t);

y=cos(3*t);

subplot(3,1,1);

plot(t,x);

subplot(3,1,2);

plot(t,y);

[a,b]=xcorr(x,y);

subplot(3,1,3);

plot(b*dt,a);

yy=cos(3*fliplr(t)); % or use: yy=fliplr(y);

z=conv(x,yy);

pause;

subplot(3,1,3);

plot(b*dt,z,'r');

即在xcorr中不使用scaling。

3. 其他相关问题：

（1）相关程度与相关函数的取值有什么联系？

    相关系数只是一个比率，不是等单位量度，无什么单位名称，也不是相关的百分数，一般取小数点后两位来表示。相关系数的正负号只表示相关的方向，绝对值表示相关的程度。因为不是等单位的度量，因而不能说相关系数0.7是0.35两倍，只能说相关系数为0.7的二列变量相关程度比相关系数为0.35的二列变量相关程度更为密切和更高。也不能说相关系数从0.70到0.80与相关系数从0.30到0.40增加的程度一样大。

对于相关系数的大小所表示的意义目前在统计学界尚不一致，但通常是这样认为的：

相关系数      相关程度

0.00-±0.30    微相关

±0.30-±0.50  实相关

±0.50-±0.80  显著相关

±0.80-±1.00  高度相关

（2）matlab计算自相关函数autocorr和xcorr有什么不一样的？

    分别用这两个函数对同一个序列计算，为什么结果不太一样？因为xcorr是没有将均值减掉做的相关，autocorr则是减掉了均值的。而且，用离散信号做自相关时，信号截取长度（采样点N）不一样，自相关函数就不一样。

（3）xcorr是计算互相关函数，带有一个option的参数:

a=xcorr(x,y,'option')

option=baised时，是计算互相关函数的有偏估计；

option=unbaised时，是计算互相关函数的无偏估计；

option=coeff时，是计算归一化的互相关函数，即为互相关系数，在-1至1之间；

option=none，是缺省的情况。

所以想要计算互相关系数，可用'coeff'参数。 

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用这个xcorr函数作离散互相关运算时要注意，当x, y是不等长向量时，短的向量会自动填0与长的对齐，运算结果是行向量还是列向量就与x一样。

互相关运算计算的是x,y两组随机数据的相关程度，使用参数coeff时，结果就是互相关系数，在-1至1之间，否则结果不一定在这范围，有可能很大也有可能很小，这视乎x, y数据的大小，所以一般要计算两组数据的相关程度，一般选择coeff参数，对结果进行归一化。

所谓归一化简单理解就是将数据系列缩放到-1到1范围，正式的就是一种简化计算的方式，即将有量纲的表达式，经过变换，化为无量纲的表达式，成为纯量。变换式为X=(X实测--Xmin)/(Xmax-Xmin)。

一般来说选择归一化进行互相关运算后，得到结果绝对值越大，两组数据相关程度就越高。