LCT 讲解 动态树的基本使用

Link-Cut-tree 动态树解决树上问题的一种数据结构，没学过树链剖分的建议先学一下树链剖分。

你们先假装会了树链剖分 QwQ。

树链剖分是对树进行轻重链剖分，重链的条数不超过logn条，用线段树维护链上信息。

树链剖分可支持的操作有：

链上求和
链上求最值
链上修改

但是对于 断开树上的一条边 或 连接两个点，保证连接后仍然是一棵树

由于树是动态的，重建需要重新标号，复杂度略高~

所以就有了动态树这种东西，我们把静态的线段树替换成Splay

于是就有了 LCT=树链剖分+Splay

这里引用一下网上的一些概念

“Preferred Child：重儿子(为了便于理解这里沿用树链剖分中的命名)，重儿子与父亲节点同在一棵Splay中，一个节点最多只能有一个重儿子

Preferred Edge：重边，连接父亲节点和重儿子的边

Preferred Path：重链，由重边及重边连接的节点构成的链

”

有点像树链剖分。

由一条链上的所有的点组成的Splay称作这条链的辅助树，键值为节点深度，所以整个Splay的中序遍历就是整个序列。

辅助树的根节点指向链顶的父亲，注意辅助树的根节点≠原树的根节点。

由于需要维护的信息在辅助树里存在，所以只需维护辅助树就行了

代码实现（解释）

inline bool isroot(int x)
{
return tree[fa[x]][0]!=x&&tree[fa[x]][1]!=x;
}
inline void pushup(int x)
{
sz[x]=sz[tree[x][0]]+sz[tree[x][1]]+1;
}

Access 函数，这是LCT 所有操作的基础，它的作用是把当前节点与原先的重儿子切断，然后把这个点到根上的路径全变成重边形成一颗Splay

void access(int x)
{
int t=0;
while(x)
{
splay(x);
tree[x][1]=t;
t=x;x=fa[x];
}
}

reverse 函数 将一个点设为原树的根，Access(x)之后x只是辅助树的总根，并不是原树的根，因为Access(x)之后x还有左子树，左子树的深度小于x，故x不是根节点

x设为根时，从x到跟所有点的深度全被反转。

于是Access+Splay 之后直接翻转就行了

void reverse(int x)
{
access(x);splay(x),rev[x]^=1;
}

find 函数，判断连通性的函数（比较脑残就不说了）

int find(int x)
{
access(x);splay(x);
int y=x;
while(tree[y][0]) y=tree[y][0];
return y;
}

Link Cut 函数 这里说一下Cut函数，本人开始还没有理解，看完网上的证明发现真是巧妙。

“直接将x进行Move_To_Root操作，然后将y进行Access+Splay，之后x一定在y的左儿子上，直接切断即可

证明：反证法

假设y进行Access+Splay操作时通过双旋将x旋转到y的左儿子的左儿子 那么x和y之间一定有一个节点 故xy之间深度之差不为1 与已知xy之间有连边相矛盾”

void link(int x,int y)
{
reverse(x);fa[x]=y;splay(x);
}
void cut(int x,int y)
{
reverse(x);access(y);splay(y);tree[y][0]=fa[x]=0;
}

补上一道裸题，bzoj 2002 弹飞绵羊 用LCT维护size大小即可

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn=201000;
int n,m,x,y,op,sz[maxn],next[maxn],fa[maxn],tree[maxn][2],s[maxn];
bool rev[maxn];
inline bool isroot(int x)
{
return tree[fa[x]][0]!=x&&tree[fa[x]][1]!=x;
}
inline void pushup(int x)
{
sz[x]=sz[tree[x][0]]+sz[tree[x][1]]+1;
}
inline void pushdown(int x)
{
if(rev[x])
{
rev[x]^=1;rev[tree[x][0]]^=1;rev[tree[x][1]]^=1;
swap(tree[x][0],tree[x][1]);
}
}
void rotate(int x)
{
int y=fa[x],z=fa[y],l=tree[y][1]==x,r=l^1;
if(!isroot(y)) tree[z][tree[z][1]==y] = x;
fa[x]=z;fa[y]=x;fa[tree[x][r]]=y;
tree[y][l]=tree[x][r];tree[x][r]=y;
pushup(y);pushup(x);
}
void splay(int x)
{
int top=0;s[++top]=x;
for(int i=x;!isroot(i);i=fa[i])
{
s[++top]=fa[i];
}
for(int i=top;i;i--) pushdown(s[i]);
while(!isroot(x))
{
int y=fa[x],z=fa[y];
if(!isroot(y))
{
if(tree[y][0]==x^tree[z][0]==y) rotate(y);else rotate(x);
}
rotate(x);
}
}
void access(int x)
{
int t=0;
while(x)
{
splay(x);
tree[x][1]=t;
t=x;x=fa[x];
}
}
void rever(int x)
{
access(x);splay(x),rev[x]^=1;
}
void link(int x,int y)
{
rever(x);fa[x]=y;splay(x);
}
void cut(int x,int y)
{
rever(x);access(y);splay(y);tree[y][0]=fa[x]=0;
}

int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&x);
fa[i]=x+i; sz[i]=1;
if (fa[i]>n+1) fa[i]=n+1;
next[i]=fa[i];
}
sz[n+1]=1;
scanf("%d",&m);
for (int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d",&op);
if (op==1)
{
rever(n+1);
scanf("%d",&x); x++;
access(x); splay(x); printf("%d\n",sz[tree[x][0]]);
}
else
{
scanf("%d%d",&x,&y); x++;
int t=min(n+1,x+y);
cut(x,next[x]); link(x,t); next[x]=t;
}
}
return