N皇后问题的非递归回溯和递归回溯

一、问题描述

           一个n*n的棋盘，要在上面放n个皇后。规则：两个皇后之间如果是同列、同行、同对角线它们会互相攻击。也就是说：棋盘上的任意两个皇后皇后

不能为同列、同行、同对角线。

二、问题分析

          回溯法是一种通用的搜索算法，几乎可以用于求解任何可计算的问题。算法的执行过程就像是在迷宫中搜索一条通往出口的路线，总是沿着某一方向向前试探，若能走通，则继续向前进；如果走不通，则要做上标记，换一个方向再继续试探，直到得出问题的解，或者所有的可能都试探过为止。
首先需要对棋盘进行描述。直观地，棋盘可以用二维数组表示，有皇后的棋格对应数组元素值为1，无皇后的棋格对应数组元素值为0。但这种存储结构并不是最简单有效的选择。 
　　下图中左边部分给棋盘的行、列编了号，提供的摆放方法，就是问题的一个解。右边的部分，将各行上皇后所在的列数记录下来，用这8个数字（4, 6, 8, 2, 7, 1, 3, 5），也构成了对问题解的一种描述。 


  

        由此可以看出，可以定义一个一维数组int x
;，用x[i]的值表示第i行上皇后所在的列数，n皇后问题的解可以用（x[1],
x[2], ….. x
）的形式描述。 
　　解决了数据表示的问题，设计数据处理的方法。这里要用回溯的策略，设计计算机对n皇后问题的求解方法。以4皇后为例，如下图所示，在图8.(a)中，第1行第1列上放置一个皇后，图(b)中确定第2行的可能放法，在尝试第1列、第2列由于相互攻击而放弃之后，确定在第3列放置可以继续，在图(c)中继续对第3行进行考察，发现将所有4列都尝试过了，也没有办法将皇后安排一个合适的位置，对第4行做任何的尝试都没有意义，这时产生回溯，结果是在图(d)中将第2行的皇后安排到第4列，然后第3行的暂时可以放在第2列，在图(e)中试着确定第4行的皇后，却发现无解再次回溯，只能够如图(f)所示将第1行的皇后放到第2列，再经图(g)、(f)之后找到4皇后问题的一个解，那就是图(g)的（2,
4, 1, 3）。 


 
图8.22 用回溯找出4皇后问题一个解的过程

在图8.23中，给出了求出4皇后问题所有解的完整过程的描述。图中（1
* * *)对应图8.22(a)中第1行皇后安排在第1列，其他行待定的状态，接下来的（1 3 * *）对应了图8.22(b)中第2行皇后安排在第3列的状态。可以判断出在这个状态下，继续尝试并不能够完成求解，于是发生回溯（其下方的B代表回溯），于是下一个尝试的状态将是（1 4 * *），……。将这样的过程继续下去，能够找出4皇后问题的所有解（2 4 1 3）和（3 1 4 2），如图8.23中两个加网格背景的结点。 


 
图8.23　求出4皇后问题所有解的完整过程

搞清楚用回溯法求解的过程后，将关注如何基于（x[1],
x[2], ….. x
）形式的解结构，写出让计算机完成求解过程的代码。4皇后问题尚且可以在纸上画出解，8皇后问题的可能解有8!=40320种，最终解有92种，必须要依靠计算机求解了。 
　　什么样的解才是可行的？需要描述出任何两个皇后可以“互相攻击”这样的条件： 
　　（1）有两个皇后处在同一行：解的结构（x[1], x[2], ….. x
）已经保证同一行不会出现两个皇后。 
　　（2）有两个皇后处在同一列：表示为x[i]=x[k]，假如在图8.23中出现表示为（1 1 * *）、（4 2 3 2）之类的结点，则说明有两个皇后在同一列了。 
　　（3）有两个皇后处在同一斜线：若两个皇后的摆放位置分别是第i行第x[i]列、第k行第x[k]列，若他们在棋盘上斜率为-1的斜线上，满足条件i-x[i]=k-x[k]，例如（1 4 3 *）、（4 1 2 *）；若他们在棋盘上斜率为1的斜线上，满足条件i+x[i]=k+x[k]。将这两个式子分别变换成i-k=x[i]-x[k]和i-k=x[k]-x[i]，例如（3
4 1 *）。综合两种情况，两个皇后位于同一斜线上表示为|i-k|=|x[i]-x[k]|。 
　　在下面的程序实现中，place(x, k)函数用于判断在第k行第x[k]列放置皇后，是否会与前面摆放好的皇后产生相互攻击。只要有某行（第i行）的皇后与这个第k行的皇后处在同一列（x[i]=x[k]）或者处在同一斜线（|i-k|=|x[i]-x[k]|），则立即返回假(0)，表示不可能构成解。 
　　再接下来，就是在实现问题求解的nQueens(x, n)函数中，从第1行开始，逐行逐列地考察皇后的摆放，当遇到某一行所有可能情况试过不必再深入到下一行考察时，及时回溯到上一行，接着考察。 
　　程序实现中，将保存解的数组定义成了动态数组。多分配一个单元，因为数组的首元素x[0]一直空闲未用，有用的单元是x[1]到x
。

根据以上分析，这个问题可以采用两种方法解决，一种是非递归回溯，另一种是递归回溯。详细请看以下代码：

/*
改程序采用了两种方案解决N皇后问题；
一种是采用非递归的回溯算法，第二种
是采用递归的回溯算法。
*/

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>

using namespace std;

//声明各个函数

void nqueen1(int *a, int n);  //非递归的方法
void nqueen2(int *a, int row, int n);  //递归的方法
bool valid(int *a, int k);    //判断在第k行，a[k]的皇后是否有效
void printqueen(int *a, int n); //打印输出皇后位置

int main()
{
int n;
cout << "请输入皇后的个数n:" << endl;
cin >> n;
int *a; //存放结果的数组的首地址
a = (int*)malloc(sizeof(int)*(n + 1));  //动态分配数组空间，a[0]空闲；

cout << "非递归回溯输出解决方案:" << endl;
nqueen1(a, n);

cout << "递归回溯输出解决方案:" << endl;
nqueen2(a, 1, n);
}

/*如果一个皇后能放在第k行第a[k]列，则返回真(1)，否则返回假(0)*/
bool valid(int *a, int k)
{
int i;
for (i = 1; i < k; ++i)
{
/*如果前k-1行中有某行的皇后与第k行的在同一列或同一斜线，返回0*/
if ((a[i] == a[k]) || (abs(i - k) ==abs(a[i] - a[k])))
return false;
}
return true;
}

void printqueen(int *a, int n)
{
int i, j;
for (i = 1; i <= n; ++i)
{
for (j = 1; j <= n; ++j)
{
if (a[i] == j)
cout << "Q";
else
cout << "*";
}
cout << endl;
}
cout << endl;
}

void nqueen1(int *a, int n)
{
int count = 0;
int k;
k = 1;  //k
a[k] = 0;/*a[k]是当前列，进到循环中，立刻就会执行a[k]++，而选择了第1列*/
while (k > 0)
{
a[k]++; /*移到下一列*/
while (a[k] <= n && !valid(a,k)) /*逐列考察，找出能摆放皇后的列a[k]*/
a[k]++;
if (a[k] <= n)/*找到一个位置可以摆放皇后*/
{
if (k== n)/*是一个完整的解，输出解*/
{
count++;
cout << "这是非递归第" << count << "个解法。" << endl;
printqueen(a, n);  //此时k==n,再进入循环，考察第k行的下一列
}
else/*没有完成最后一行的选择，是部分解，转向下一行*/
{
k++; /*接着考察下一行*/
a[k] = 0;/*到循环开始执行a[k]++后，下一行将从第1列开始考察*/
}

}
else
{ /*对应a[k]>n的情形，这一行已经没有再试的必要，回溯到上一行*/
k--;
}/*上一行在原第a[k]列的下1列开始考察*/
}
}

int countbacak=0;
void nqueen2(int *a,int row, int n)
{
if (row > n) //此时调用开始返回
{
countbacak++;
cout << "这是递归第" << countbacak << "个解法。" << endl;
printqueen(a, n);
}
else
{
for (int i = 1; i <= n; ++i)  //i表示列,每个i，都对应一系列的递归调用
{
a[row] = i; //形成坐标
if(valid(a,row))
nqueen2(a,row+1, n);
}
}
}

参考：http://blog.csdn.net/sxhelijian/article/details/48914323