BZOJ 2154: Crash的数字表格

Description

今天的数学课上，Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple)。对于两个正整数a和b，LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数。例如，LCM(6, 8) = 24。回到家后，Crash还在想着课上学的东西，为了研究最小公倍数，他画了一张N*M的表格。每个格子里写了一个数字，其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j)。一个4*5的表格如下： 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 12 15 4 4 12 4 20 看着这个表格，Crash想到了很多可以思考的问题。不过他最想解决的问题却是一个十分简单的问题：这个表格中所有数的和是多少。当N和M很大时，Crash就束手无策了，因此他找到了聪明的你用程序帮他解决这个问题。由于最终结果可能会很大，Crash只想知道表格里所有数的和mod 20101009的值。

Input

输入的第一行包含两个正整数，分别表示N和M。

Output

输出一个正整数，表示表格中所有数的和mod 20101009的值。

Sample Input

4 5

Sample Output

122

HINT

100%的数据满足N, M ≤ 10^7。

分析

题解见Po神的论文

或者看这篇比较详细的博客

代码

#include <bits/stdc++.h>

#define N 10000005
#define MOD 20101009
#define ll long long

int mu
,prime
;
bool notPrime
;
ll s
;
int n,m;
int tot;

void getMu()
{
mu[1] = 1;
for (int i = 2; i <= N; i++)
{
if (!notPrime[i])
{
prime[++tot] = i;
mu[i] = -1;
}
for (int j = 1; j <= tot && i * prime[j] <= N; j++)
{
notPrime[i * prime[j]] = 1;
if (i % prime[j] == 0)
{
mu[i * prime[j]] = 0;
break;
}
mu [i * prime[j]] = -mu[i];
}
}
for (int i = 1; i <= N; i++)
s[i] = (s[i - 1] + (ll) mu[i] * i * i % MOD) % MOD;
}

ll getSum(int n)
{
return (ll) n * (n + 1) % MOD * 10050505 % MOD;
}

ll getF(int n,int m)
{
if (n > m)
std::swap(n,m);
ll ans = 0;
int last;
for (int i = 1; i <= n; i = last + 1)
{
last = std::min(n / (n / i),m / (m / i));
ans = (ans + getSum(n / i) * getSum(m / i) % MOD * (s[last] - s[i - 1]) % MOD) % MOD;
}
return ans;
}

int main()
{
getMu();
scanf("%d%d",&n,&m);
if (n > m)
std::swap(n,m);
ll ans = 0;
int last;
for (int i = 1; i <= n; i = last + 1)
{
last = std::min(n / (n / i),m / (m / i));
ans = (ans + getF(n / i, m / i) * (getSum(last) - getSum(i - 1)) % MOD) % MOD;
}
printf("%lld\n",(ans + MOD) % MOD);
}