【BZOJ2227】【ZJOI2011】看电影 [组合数][质因数分解]

看电影

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Description

　　到了难得的假期，小白班上组织大家去看电影。但由于假期里看电影的人太多，很难做到让全班看上同一场电影，最后大家在一个偏僻的小胡同里找到了一家电影院。但这家电影院分配座位的方式很特殊，具体方式如下： 1. 电影院的座位共有K个，并被标号为1…K，每个人买完票后会被随机指定一个座位，具体来说是从1…K中等可能的随机选取一个正整数，设其为L。 2. 如果编号L的座位是空位，则这个座位就分配给此人，否则将L加一，继续前面的步骤。 3. 如果在第二步中不存在编号L的座位，则该人只能站着看电影，即所谓的站票。小白班上共有N人（包括小白自己），作为数学爱好者，小白想知道全班都能够有座位的概率是多少。

Input

　　输入文件第一行有且只有一个正整数T，表示测试数据的组数。 第2～T+1行，每行两个正整数N,K，用单个空格隔开，其含义同题目描述。

Output

　　输出文件共包含T行。第i行应包含两个用空格隔开的整数A,B，表示输入文件中的第i组数据的答案为A/B。（注意，这里要求将答案化为既约分数）

Sample Input

　　3
　　1 1
　　2 1
　　2 2

Sample Output

　　1 1
　　0 1
　　3 4

HINT

　　对于100%的数据 T<=50,N,K<=200

Main idea

　　有n个人，k个位置，询问按照以下坐法使得所有人都有位置坐的概率是多少。（坐法：每个人随机一个位置，如果这个位置有人那一直就往后坐，如果后面都有人了则不可行）

Source

　　运用组合数学，首先我们知道n个人k个位置的总方案数是k^n，然后我们考虑一下怎么求出可行的方案，发现直接做的话无解与有解的两个情况不好考虑，怎么办呢？

　　我们发现可以考虑一下多加一个空位置使其构成一个环，那么这时候每个位置都必定是有解的，方案数就是(k+1)^n。再考虑如何删掉重复的情况，由于我们加入了一个位置，那么除去经过这个位置的情况显然是方案数/(k+1)，那么现在方案数就是(k+1)^n/(k+1)，然后乘上有几个空位置即可。最后答案就是：( (k+1)^n/(k+1)*(k+1-n) ) / (k^n)。

　　我们发现这个现在求出来的方案数比较大，但是又看见了n,k<=200，想到了数字n的质因数和n^k的质因数是一样的（所以这时候质因数肯定都是200以内的质数），所以我们乘的时候直接质因数分解，然后两个数字的质因数去重，最后用一个高精度乘起来输出即可。

Code

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
using namespace std;

const int ONE=201;

int T;
int n,k;
int prime[ONE],cnt;
int p[ONE][3];
int record,x;

struct power
{
int num[10001],len;
void print()
{
for(int i=len;i>=1;i--)
printf("%d",num[i]);
}

friend power operator *(power a,power b)
{
power c;
c.len=a.len+b.len;
for(int i=1;i<=c.len;i++) c.num[i]=0;

for(int i=1;i<=a.len;i++)
{
x=0;
for(int j=1;j<=b.len;j++)
{
c.num[i+j-1]=c.num[i+j-1] + x + a.num[i]*b.num[j];
x=c.num[i+j-1]/10;
c.num[i+j-1]%=10;
}
c.num[i+b.len]=x;
}

while(c.len>1 && !c.num[c.len]) c.len--;
return c;
}
}kd[3],pass;

void dealwith(int x)
{
for(int i=1;i<=pass.len;i++) pass.num[i]=0;
pass.len=0;
while(x)
{
pass.num[++pass.len]=x%10;
x/=10;
}
}

int get()
{
int res=1,Q=1;char c;
while( (c=getchar())<48 || c>57 )
if(c=='-')Q=-1;
res=c-48;
while( (c=getchar())>=48 && c<=57 )
res=res*10+c-48;
return res*Q;
}

int PD(int x)
{
for(int i=2;i<x;i++)
if(x%i==0) return 0;
return 1;
}

int Chai(int x,int PD)
{
if(x==1) return x;
for(int i=1;i<=cnt;i++)
{
if(!(x%prime[i]))
{
p[prime[i]][PD]++;
x=Chai(x/prime[i],PD);
break;
}
}
return x;
}

int Deal(int x,int m,int PD)
{
record=1;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
record*=x;
record=Chai(record,PD);
}

if(PD==1)
{
record*=(x-m-1);
record=Chai(record,PD);
}

p[record][PD]++;
}

int main()
{
T=get();
for(int i=2;i<=200;i++)
if(PD(i)) prime[++cnt]=i;

while(T--)
{
n=get();    k=get();
if(n>k)
{
printf("0 1\n");
continue;
}

memset(p,0,sizeof(p));
Deal(k+1,n-1,1);    Deal(k,n,2);
for(int i=1;i<=200;i++)
{
int x=min(p[i][1],p[i][2]);
p[i][1]-=x; p[i][2]-=x;
}

kd[1].len=kd[2].len=1;
kd[1].num[1]=kd[2].num[1]=1;
for(int i=1;i<=cnt;i++)
{
dealwith(prime[i]);
for(int t=1;t<=2;t++)
for(int j=1;j<=p[prime[i]][t];j++)
kd[t]=kd[t]*pass;
}

kd[1].print(); printf(" ");
kd[2].print(); printf("\n");

}
}

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