向量，点积和叉积

ps：为了好（偷）写（懒），本蒟蒻用va表示a是个向量

再ps：下面讨论的都是平面几何

向量

定义

既有方向，又有长度，且可以自由平移的线段，可称作向量（不是有向线段，有向线段不可以自由平移，因为具有起点）。

实现

程序实现中，我们经常把向量的起点移到(0,0)，然后用坐标x,y表示这个向量，向量的加减乘除法可以通过重载实现。

代码

struct Point
{
double x,y;
Point(double X=0,double Y=0) {x=X;y=Y;}
}; //向量和点可归为一个结构体
typedef Point vec;
vec operator + (const vec& a,const vec& b) {return vec(a.x+b.x,a.y+b.y);}
//向量+向量
vec operator - (const vec& a,const vec& b) {return vec(a.x-b.x,a.y-b.y);}
//向量-向量
vec operator * (const vec& a,double b) {return vec(a.x*b,a.y*b);}
//向量*实数
vec operator / (const vec& a,double b) {return vec(a.x/b,a.y/b);}
//向量/实数

点积

定义

对于两个向量va和vb，他们的点积（也叫数量积）=|va|*|vb|*cosθ，其中θ是va和vb的夹角，这是点积的几何意义。

计算

可以证明，点积也=xa*xb+ya*yb，这就是点积的代数意义。

证明如下：

设va的终点为A(xa,ya)，vb的终点为B(xb,yb)，则vAB=(xb-xa,yb-ya)

在△AOB中，根据余弦定理，得：|vAB|^2=|va|^2+|vb|^2-2*|va|*|vb|*cosθ

根据距离公式，得：

|va|*|vb|*cosθ={xa^2+ya^2+xb^2+yb^2-[(xb-xa)^2+(yb-ya)^2]}/2

即|va|*|vb|*cosθ=xa*xb+ya*yb

有了这个代数意义的公式，我们就可以方便的计算点积，然后算夹角θ了。

代码

double Dot (const vec& a,const vec& b) {return a.x*b.x+a.y*b.y;}
//点积
double Length (const vec& a) {return sqrt(a.x*a.x+a.y*a.y);}
//长度
double Angle (const vec& a,const vec& b) {return acos(Dot(a,b)/Length(a)/Length(b));}
//算夹角θ（弧度制）

叉积

定义

对于两个向量va和vb，他们的叉积（也叫向量积）=|va|*|vb|*sinθ，其中θ是va和vb的夹角，这是叉积的几何意义（也就是说叉积=va和vb所成三角形有向面积的2倍）。

ps：叉积是伪向量，因为叉积在不同维度中不同（比如二维中叉积是没有方向的，但是在三维中有方向），但叉积的正负又代表了不同的意思，所以叉积是有向面积但不一定是个向量。

再ps：所以不难发现如果Cross(va,vb)是正数，说明vb在va的逆时针180度内；如果Cross(va,vb)是负数，说明vb在va的顺时针180度内；否则如果Cross(va,vb)=0，说明va和vb在同一条直线上（方向相同或者相反）。

计算

和点积一样，叉积也有代数意义，叉积=xa*yb-xb*ya（这下我不会证明了，有人会的话可以私信我，谢谢！）。

代码

double Cross (const vec& a,const vec& b) {return a.x*b.y-b.x*a.y;}
//点积
double Area (const Point& a,const Point& b,const Point& c) {return Cross(b-a,c-a);}
//求三角形ABC面积的两倍（有向面积）