【vijos1286】座位安排

Description

考场里的座位恰好有n行m列，并且恰好有n*m位考生在这个考场里面考试，也就是说，所有的座位上都有考生。hzy根据学校记载，有k位考生可能作弊，因此hzy不能让他们之中的任何两个人做在相邻的座位上！所谓相邻的座位，即在同一行相邻列或者在同一列的相邻行的座位。hzy准备这样安排座位，首先随机选择一种方案，如果这种方案是合法的，就用这种方案，否则重新选择。你的任务是计算，他得到一个合法方案时，需要的期望选择次数。

传送门

Solution

设每次选择合法方案的概率为p=合法方案数/Ckn×m。

那么选择的期望次数为：

∑li=1(1−p)i−1⋅i⋅p=p∑li=1(1−p)i−1⋅i (l→∞)

设M=∑li=1(1−p)i−1⋅i，则(1−p)M=∑li=1(1−p)i⋅i。

那么(1−p)M−M=−pM=l⋅(1−p)l−∑li=0(1−p)i

=l⋅(1−p)l−((1−p)l+1−1(1−p)−1)。

因为l→∞，所以−pM=−1p，pM=1p。

当然期望步数也可以不这样算（上面的没懂没有关系）。

我们设期望步数为x，那么我们有方程x=p+(1−p)(1+x)，解得x=1p。（显然比上面的式子简单多了，要理解也很容易）

所以最终答案就是Ckn×m/合法方案数。

现在我们考虑怎么求这个方案数。

设fi,j,S表示第i行的作弊学生状态为S，共有j个作弊学生的方案数，转移显然。

一开始把第一行的f初始化一下即可。

这里压缩状态要以小的那个压缩。