BZOJ 3925: [Zjoi2015]地震后的幻想乡

3925: [Zjoi2015]地震后的幻想乡

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Description

傲娇少女幽香是一个很萌很萌的妹子，而且她非常非常地有爱心，很喜欢为幻想乡的人们做一些自己力所能及的事情来帮助他们。 这不，幻想乡突然发生了地震，所有的道路都崩塌了。现在的首要任务是尽快让幻想乡的交通体系重新建立起来。幻想乡一共有n个地方，那么最快的方法当然是修复n-1条道路将这n个地方都连接起来。 幻想乡这n个地方本来是连通的，一共有m条边。现在这m条边由于地震的关系，全部都毁坏掉了。每条边都有一个修复它需要花费的时间，第i条边所需要的时间为ei。地震发生以后，由于幽香是一位人生经验丰富，见得多了的长者，她根据以前的经验，知道每次地震以后，每个ei会是一个0到1之间均匀分布的随机实数。并且所有ei都是完全独立的。 现在幽香要出发去帮忙修复道路了，她可以使用一个神奇的大魔法，能够选择需要的那n-1条边，同时开始修复，那么修复完成的时间就是这n-1条边的ei的最大值。当然幽香会先使用一个更加神奇的大魔法来观察出每条边ei的值，然后再选择完成时间最小的方案。 幽香在走之前，她想知道修复完成的时间的期望是多少呢？

Input

第一行两个数n,m，表示地方的数量和边的数量。其中点从1到n标号。
接下来m行，每行两个数a,b，表示点a和点b之间原来有一条边。
这个图不会有重边和自环。

Output

一行输出答案，四舍五入保留6位小数。

Sample Input

5 4

1 2

1 5

4 3

5 3

Sample Output

0.800000

HINT

提示：

（以下内容与题意无关，对于解题也不是必要的。）

对于n个[0,1]之间的随机变量x1,x2,...,xn，第k小的那个的期望值是k/(n+1)。

样例解释：

对于第一个样例，由于只有4条边，幽香显然只能选择这4条，那么答案就是4条边的ei中最大的数的期望，由提示中的内容，可知答案为0.8。

数据范围：

对于所有数据：n<=10, m<=n(n-1)/2, n,m>=1。

对于15%的数据：n<=3。

另有15%的数据：n<=10, m=n。

另有10%的数据：n<=10, m=n(n-1)/2。

另有20%的数据：n<=5。

另有20%的数据：n<=8。

Source

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提示里的东西还是有必要看一下的，因为有了这个式子，所以我们只需要关心在最小生成树中最大边的期望排名，最终答案就是其除以$m+1$。

$$ans=\sum{F(x)P(x)}=\sum{\frac{xP(x)}{m+1}}=\frac{\sum{xP(x)}}{m+1}=\frac{H}{m+1}$$

其中$F(x)$代表排名第x的随机变量的期望值，$P(x)$代表最小生成树中最大边排名为$x$的概率，$H$代表最大边排名的期望。所以我们只需要求出$H$就好。

$$H=\sum{xP(L=x)}=\sum{P(L\geq x)}=\sum{T(x-1)}$$

其中$P(L=x)$表示最小生成树的最大边排名为$x$的概率，$P(L\geq x)$表示最小生成树最大边排名大于等于$x$的概率，$T(x)$表示用排名严格小于$x$的边不能组成生成树的概率。

所以问题转化为求$T(x)$的和，等同于选取$x$条边不能组成生成树的概率？我们只需要知道所有合法方案数，除以总方案数就是$T(x)$了。

我们用$f[s][i]$表示在$s$点集内选取$i$条边，使得$s$不连通的方案数；用$g[s][i]$表示在$s$点集内选取$i$条边，使得$s$联通的方案数。容易发现——

$$f[s][i]+g[s][i]=C_{edge(s)}^{i}$$

其中$edge(s)$表示$s$点集内部边的数量。

转移时，我们在$s$内选择一个点$p$，考虑这个点处于哪个联通块内，即枚举一个$s$的真子集$t$，使得$p\in t$，有

$$f[s][i]+=g[t][j]*C_{edge(s-t)}^{i-j}$$

所以就能求出$f$函数了，KO~~~。

#include <cstdio>

typedef long long lnt;

const int mxn = 11;
const int mxm = 46;
const int siz = 1 << mxn;

int n, m;

int e[siz];
int s[siz];
int d[siz];
lnt c[mxm][mxm];
lnt f[siz][mxm];
lnt g[siz][mxm];

double ans = 0.0;

signed main(void)
{
scanf("%d%d", &n, &m);

for (int i = 0, x, y; i < m; ++i)
{
scanf("%d%d", &x, &y);

e[x - 1] |= (1 << y - 1);
e[y - 1] |= (1 << x - 1);
}

for (int i = 0; i <= m; ++i)
{
c[i][0] = c[i][i] = 1;

for (int j = 1; j < i; ++j)
c[i][j] = c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1];
}

for (int i = 0; i < 1 << n; ++i)
s[i] = s[i >> 1] + (i & 1);

for (int i = 0; i < 1 << n; ++i)
{
for (int j = 0; j < n; ++j)
if ((i >> j) & 1)
d[i] += s[e[j] & i];

d[i] >>= 1;
}

for (int i = 0; i < 1 << n; ++i)
if (s[i] == 1)
g[i][0] = 1;
else
{
int t = i & -i;

for (int j = (i - 1) & i; j; j = (j - 1) & i)
if (j & t)
{
for (int a = 0; a <= d[j]; ++a)
for (int b = 0; b <= d[i ^ j]; ++b)
f[i][a + b] += g[j][a] * c[d[i ^ j]][b];
}

for (int j = 0; j <= d[i]; ++j)
g[i][j] = c[d[i]][j] - f[i][j];
}

for (int i = 0; i <= m; ++i)
ans += 1.0 * f[(1 << n) - 1][i] / c[m][i];

ans /= 1.0 * (m + 1);

printf("%.6lf\n", ans);
}

@Author: YouSiki