noj1017_乘积最大，递归与动态规划

比赛描述：

今年是国际数学联盟确定的“2000——世界数学年”，又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰90周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛，组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动，你的一个好朋友XZ也有幸得以参加。活动中，主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目：

设有一个长度为N的数字串，要求选手使用K个乘号将它分成K+1个部分，找出一种分法，使得这K+1个部分的乘积能够为最大。同时，为了帮助选手能够正确理解题意，主持人还举了如下的一个例子：

有一个数字串：312， 当N=3，K=1时会有以下两种分法：

1) 3*12=36

2) 31*2=62

这时，符合题目要求的结果是：31*2=62

现在，请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序，求得正确的答案。

输入：

输入共有两行：

第一行共有2个自然数N，K（6≤N≤40，1≤K≤6）

第二行是一个长度为N的数字串。

输出：

输出所求得的最大乘积（一个自然数）,答案在long long 数据范围之内。

样例输入：

4 2

1231

样例输出：

62

题目来源：

NOIP2000

思路1：递归

笔者自己的思路。

刚开始没有注意到用动态规划来解，笔者就用程序模拟手工算法，穷举所有可能，把所给的数字串分段后相乘，取最大乘积。在Test4出现了点问题，一直没有找到，笔者把代码放在这里，也希望大神相助啊。

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
using namespace std;

int GetSubNum(int num,int N,int start,int len);//从num中取出start开始，长度为len的数字
void CalStart(int start[],int len[],int K); //根据len数组计算start数组
void Fun(int i,int num,int N,int K,int start[],int len[],int pos[],long long &rst);//递归函数

int main()
{
int N,K;
long long rst=0;
cin>>N>>K;
char str[45];
cin>>str;
int num=atoi(str);

int start[7]={0}; //每一段数字的开始位置
int len[7]; //每一段数字的长度
for(int i=0;i<7;i++) len[i]=1;

int pos[6]; //the position of "*"
pos[0]=0; //让第一个乘号从第0个位置开始

Fun(0,num,N,K,start,len,pos,rst); //递归计算
cout<<rst<<endl;
return 0;
}

int GetSubNum(int num,int N,int start,int len)
{
if(start<0||start>=N) return -1;
if(len>N||start+len>N) return -1;

int result=num;
int left=start;
int right=N-start-len;
int  a=1;
for(int i=0;i<N-left;i++)
{
a*=10;
}
result%=a;

a=1;
for(int i=0;i<right;i++)
{
a*=10;
}
result/=a;

return result;
}

void CalStart(int start[],int len[],int K)
{
for(int i=1;i<K+1;i++)
{
start[i]=start[i-1]+len[i-1];
}
}

void Fun(int i,int num,int N,int K,int start[],int len[],int pos[],long long &rst)
{
if(i==K-1)
{
//to avoid special situation : i==0,i-1 not exist
int temp;
if(i==0) temp=-1;
else temp=pos[i-1];
//**
for(pos[i]=temp+1;pos[i]<N-1;pos[i]++)
{
int len1=0;//len[0~(k-1)]的和
for(int j=0;j<K+1;j++)
{
if(j==0)
{
len[j]=pos[j]+1;
len1+=len[j];
}
else if(j==K) len[j]=N-len1;
else
{
len[j]=pos[j]-pos[j-1];
len1+=len[j];
}
}
//calc start[]
start[0]=0;
CalStart(start,len,K);

//calc the result of this situation
long long ans=1;
for(int j=0;j<K+1;j++) //K+1块相乘
{
int temp=GetSubNum(num,N,start[j],len[j]);
//cout<<"temp="<<temp<<endl;
ans*=temp;
//cout<<"ans="<<ans<<endl;
}
if(ans>rst)
{
rst=ans;
}
}
}
else
{
//to avoid special situation : i==0,i-1 not exist
int temp;
if(i==0) temp=-1;
else temp=pos[i-1];
//**
for(pos[i]=temp+1;pos[i]<N-1-(K-1-i);pos[i]++)
{
int ii=i+1;//pos[ii]进行递归
Fun(ii,num,N,K,start,len,pos,rst);
}
}
}

思路2：动态规划

使用动态规划的思想，使得代码非常简洁，效率也很高。这里参考了别人的博客，链接在下方参考资料里面，非常感谢。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
typedef unsigned long long bignum;
bignum f[41][31];
bignum num[41][41];
char str[42];
#define max(a, b) ((a)>(b)?(a):(b))

int main(int argc, char **argv)
{
int i, j, l;
int n, k;
scanf("%d%d", &n, &k);
scanf("%s", &str[1]);
for(i = 1; i <= n; i++)
{
for(j = i; j <= n; j++)
{
num[i][j] = num[i][j - 1] * 10 + str[j] - '0';
}
}
for(i = 1; i <= n; i++)
{
f[i][0] = num[1][i];
}
for(j = 1; j <= k; j++) //"*"数量
{
for(i = 2; i <= n; i++) //前i个数字
{
for(l = 1; l < i; l++)//寻找前i个数字用j个乘号所能得到的最大值，记为f[i][j];
{
f[i][j] = max(f[i][j], f[l][j - 1] * num[l + 1][i]);
}
}
}
printf("%I64d\n", f
[k]);
return 0;
}

总结：

着手解决问题时，刚开始的时候一定要慢，解决问题的方向很重要，方向对了，事半功倍。

参考资料：

http://www.cnblogs.com/yylogo/archive/2011/08/06/NOIP-2000-3.html