漫步数学分析番外四

定理1 令f:A→Rm是一个映射，其中A⊂Rn是任意集合，那么下面的断言是等价的。

f在A上连续

对于A中的每个收敛序列xk→x0，我们有f(xk)→f(x0)

对于Rm中的每个开集U，f−1(U)⊂A 对A而言是相对开的；即，对某个开集V,f−1(U)=V∩A

对于每个闭集F⊂Rm,f−1(F)⊂A 对A而言是相对闭的；即，对某个闭集G,f−1(F)=G∩A

证明：证明的模式为(i)⇒(ii)⇒(iv)⇒(iii)⇒(i)。

(i)⇒(ii)的证明：假设xk→x0，为了说明f(xk)→f(x0)，令ε>0；我们必须找到一个整数N使得k≥N 时d(f(xk),f(x0))<ε。为此，选择δ>0 使得d(x,x0)<δ意味着d(f(x),f(x0))<ε。δ的存在性由f的连续性得以抱枕，那么选择N使得k≥N意味着d(xk,x0)<δ，N的选择就得到要求的结论。

(ii)⇒(iv)的证明：令F⊂Rm是闭的，为了说明f−1(F)在A中是闭的，我们利用下面的事实：集合B相对于A是闭的，当且仅当对于每个收敛到x∈A的序列xk∈B，x∈B。令xk∈f−1(F),xk→x，其中x∈A。我们必须说明x∈f−1(F)。 接下来，由(ii)，f(xk)→f(x)，并且因为f(xk)∈F,F是闭集，我们可得f(x)∈F，因此x∈f−1(F)。

(iv)⇒(iii)的证明：如果U是开集，令F=Rm∖U(这是个闭集)，那么由(iv)，对某个闭集G，f−1(F)=G∩A，故f−1(U)=A∩(Rn∖G)，所以f−1(U) 相对于A是开的。

(iii)⇒(i)的证明：给定x0∈A,ε>0，我们必须找出δ使得d(x,x0)<δ意味着d(f(x),f(x0))<ε。 因为D(f(x0),ε)是一个开集，根据(iii)可知f−1(D(f(x0),ε))是开集，那么根据开集的定义以及x0∈f−1(D(f(x0),ε))，存在δ>0 使得D(x0,δ)∩A⊂f−1(D(f(x0)),ε)。用另一种方式说就是(x∈A,d(x,x0)<δ)⇒(d(f(x),f(x0))<ε)。||

定理2 令f:A→Rm是一个连续映射，那么

如果K⊂A并且K是连集，那么f(K)是连集。

如果B⊂A并且B是紧集，那么f(B)是紧集。

证明：(i)假设f(K)不是连集，那么根据定义，我们可以写成f(K)⊂U∪V，其中U∩V∩f(K)=∅,U∩f(K)≠∅,V∩f(K)≠∅,U,V是开集。那么存在某个开集U′使得f−1(U)=U′∩A，同样地，存在某个开集V′使得f−1(V)=V′∩A。 根据U,V满足的条件，我们可以看出U′∩V′∩K=∅,K⊂U′∪V′,U′∩K≠∅,V′∩K≠∅，所以K不是连集，证毕。

(ii)令yk是f(B)中的序列，我们需要说明yk有一个收敛到f(B)中某个点的子序列。对xk∈B，令yk=f(xk)。因为B是紧集，所以有一个收敛子序列，假设为xkn→x,x∈B。然后根据定理1(ii)，f(xkn)→f(x)，所以f(xkn)是yk的一个收敛子序列。||

定理2(i)中的路径连续部分与上面类似。在(ii)的证明中，我们利用了紧集作为集合的一个特征，也就是每个序列有一个收敛的子序列。实际上也可以使用紧集的海涅-博雷尔准则，注意一般而言，闭集的连续像不一定是闭的，所以在证明f(B)既是闭又是有界的时候，B 的紧性是至关重要的。

定理3 假设f:A→Rm,g:B→Rp是连续函数，其中f(A)⊂B，那么g∘f:A→Rp是连续的。

证明：令U⊂Rp是开集，那么(g∘f)−1(U)=f−1(g−1(U))。接下来对于某个开集U′,g−1(U)=U′∩B并且f−1(U′∩B)=f−1(U′)，因为f(A)⊂B。因为f是连续的，所以对于开集U′′,f−1(U′)=U′′，因此根据定理1可知，g∘f是连续的。||

定理1的其他条件也可以用来证明定理3。接下来我们不证明定理4，而是证明其推论。

推论 令A⊂Rn

令f:A→Rm,g:A→Rm在x0处连续；那么定义为(f+g)(x)=f(x)+g(x)的和f+g:A→Rm是连续的。

令f:A→R,g:A→R在x0处连续；那么定义为(f⋅g)(x)=f(x)g(x)(标量f(x)与向量g(x) 相乘)的乘积是连续的。

令f:A→R,g:A→Rm是连续的，其中A⊂Rn，如果对于所有的x∈A,f≠0，那么商g/f在A上是连续的。

证明：令x0∈A，并假设ε>0已经给定。选择δ1>0使得d(x,x0)<δ1意味着d(f(x),f(x0))<ε/2，δ2>0使得d(x,x0)<δ2意味着d(g(x),g(x0))<ε/2，那么令δ是δ1,δ2中最小的一个。因此，如果d(x,x0)<δ，根据三角不等式可知

∥(f+g)(x)−(f+g)(x0)∥=∥f(x)−f(x0)+g(x)−g(x0)∥≤∥f(x)−f(x0)∥+∥g(x)−g(x0)∥≤ε2+ε2=ε

(ii)令x0∈A，假设ε>0，选择δ1使得d(x,x0)<δ1意味着|f(x)−f(x0)|<ε/2∥g(x0)∥并且|f(x)|≤|f(x0)|+1。另外选择δ2使得d(x,x0)<δ2意味着∥g(x)−g(x0)∥<ε/2∥(|f(x0)|+1)，那么对于δ=min{δ1,δ2},d(x,x0)<δ 意味着(利用三角不等式)

∥fg(x)−fg(x0)∥=∥f(x)g(x)−f(x)g(x0)+f(x)g(x0)−f(x0)g(x0)∥≤|f(x)|∥g(x)−g(x0)∥+|f(x)−f(x0)|∥g(x0)∥

(利用事实：对于x∈Rn,α∈R,∥αx∥=|α∥x∥|)。继续上面的估计可得

∥fg(x)−fg(x0)∥<(|f(x0)|+1)ε/2(|f(x0)|+1)+∥g(x0)∥ε/2∥g(x0)∥=ε2+ε2=ε

(iii)根据(ii)的证明，我们考虑1/f的情况，此时g/f=g⋅(1/f)。

为了说明1/f是连续的，给定x0∈A，选择δ1 使得对∥x−x0∥<δ1,|f(x)−f(x0)|≤(|f(x0)|/2)。根据f的连续性可知这是可能的。所以|f(x)|≥(|f(x0)|/2)。接下来，给定ε>0，选择δ2使得∥x−x0∥<δ2意味着

|f(x)−f(x0)|<ε|f(x0)|2/2

接下来，给定ε>0，选择δ2使得∥x−x0∥<δ2意味着

|f(x)−f(x0)|<ε|f(x0)|2/2

那么如果δ=min(δ1,δ2),∥x−x0∥意味着

∣∣∣1f(x)−1f(x0)∣∣∣=∣∣∣f(x0)−f(x)f(x0)f(x)∣∣∣≤|f(x)−f(x0)||f(x0)|2/2<ε

这就说明1/f(x)在x0处是连续的，因此它在A上是连续的。||

定理5 令A⊂Rn,f:A→R是连续函数，令K⊂A是紧集，那么f在K上是有界的，即B={f(x)|x∈K}⊂R是有界集。进一步，存在点x0,x1∈K使得f(x0)=inf(B),f(x1)=sup(B)，我们称sup(B)是f在K上的最大值，inf(B)是f在K 上的最小值。

证明：首先，B有上界，因为根据定理2可知B=f(K)是紧集，所以根据紧集的定义可知它是闭且有界的。其次，我们想要产生一个x1使得x1∈K,f(x1)=sup(B)。接下来，因为B是闭的，sup(B)∈B=f(K)，所以存在x1∈K使得sup(B)=f(x1)。

inf(B)的情况类似。||

注意：我们可以将上面的sup情况应用到−f上得出inf(B)的情况，这时候−f的最大值就是f的最小值。

定理6 令A⊂Rn,f:A→R是连续的，假设K⊂A是连集并且x,y∈K。对于每个数c∈R 满足f(x)≤c≤f(y)，存在一个点z∈K使得f(z)=c。

证明：假设没有这样的z存在，那么令U=(−∞,c)={t∈R|t<c}并且令V=(c,∞)。很明显，U,V都是开集。因为f是连续的，所以对开集U0，我们有f−1(U)=U0∩K，同样地，f−1(V)=V0∩K。根据U,V的定义，我们有U0∩V0∩K=∅并且根据假设{z∈K|f(z)=c}=∅，我们有U0∪V0⊃K。 另外，，U0∪K≠∅，因为x∈U;V0∩K≠∅，因为y∈V0。因此，K不是连集，得出矛盾。||

定理7 令f:A→Rm是连续的且K⊂A 是一个紧集，那么f在K上是一致连续的。

证明：给定ε>0，对于每个x∈K，选择δx使得d(x,y)<δx意味着d(f(x),f(y))<ε/2，集合D(x,δx/2)覆盖K且是开集，那么，有一个有限覆盖，D(x1,δx1/2),…,D(xN,δxN/2)，令δ=min{δx1/2,…,δxN/2}，那么如果d(x,y)<δ，就存在xl使得d(x,xl)<δxl/2(因为邻域覆盖K)，因此d(xl,y)≤d(x,xl)+d(x,y)<δxl，所以根据选择的δxl,d(f(x),f(y))≤d(f(x),f(xl))+d(f(xl),f(y))<ε/2+ε/2=ε。||

例1：令f:A→Rm为

f(x)=(f1(x),…,fm(x))

那么说明f是连续的当且仅当每个元素fi是连续的，i=1,…,m。

解：令f是连续的。如果A中xk→x，我们必须说明对于每个i,fi(xk)→fi(x)。但是根据事实f(xk)→f(x)可以立刻得出这个结论。另外Rm中的序列(这里是f(xk))收敛当且仅当它的元素都收敛。利用同样的利用可以证明相反的情况。

例2：令f:A→Rm是连续的。对于K⊂A是连集，说明{(x,f(x))|x∈K}是Rn×Rm=Rn+m中的连集。当然这个集合就是f的图像。

解：考虑映射g:K⊂Rn→Rn×Rm，其定义为g(x)=(x,f(x))。根据前面的例子，g是连续的。但是g(K)={(x,f(x))|x∈K}并且连集的像是连集(定理2)。

例3：令f:A→Rm在x0∈A处连续，A 是开集并且f(x0)≠0。那么说明f在x0的某个邻域内非零。

解：给定ε>0，存在一个x0的邻域U使得对所有x∈U满足∥f(x)−f(x0)∥<ε(连续的定义)。为了得到结论，我们选择ε=∥f(x0)∥，那么∥f(x)−f(x0)∥<∥f(x0)∥意味着f(x)≠0，因为∥−f(x0)∥<∥f(x0)∥不可能为真(实际他们是相等的)。因此，在ε=∥f(x0)∥确定的邻域U上，f是非零的。

例4：说明线性映射L:Rn→Rm是线性的。

解：我们将说明对于给定的线性映射L:Rn→Rm，我们可以找到一个数M使得对所有的x∈Rn,∥L(x)∥≤M，那么∥x−x0∥<ε/M 意味着∥L(x)−L(x0)∥=∥L(x−x0)∥≤M∥x−x0∥<ε，这就证明了L是连续的。

令M=sup{∥L(e1)∥,…,∥L(en)∥}，其中e1,…,en是Rn的标准基。那么对于x=(x1,…,xn)利用三角不等式可得

∥L(x)∥=∥x1L(e1)+⋯+xnL(en)∥≤|x1|∥L(e1)∥+⋯+|xn|∥L(en)∥≤M1(|x1|+⋯+|xn|)≤M1n∥x∥

因此我们可以取M=nM1，这样就得到我们的结果。