[母函数 泰勒展开] BZOJ 3028 食物

这个神题

汉堡=x0+x2+x4+⋯=11−x2

蜜桃=x1+x3+x5+⋯=x1−x2

面包=x0+x3+x6+⋯=11−x3

鸡块=x0+x4+x8+⋯=11−x4

土豆=x0+x1=1−x21−x

可乐=x0+x1=1−x21−x

鸡腿=x0+x1+x2=1−x31−x

包子=x0+x1+x2+x3=1−x41−x

乘在一起就是f(x)=x(1−x)4

[xn] f(x)就是答案

然后我们在x=0处泰勒展开

答案就是fn(0)n!

这个n阶导数可以找规律得出

fn(x)=n(n+2)!3!(1−x)−(n+3)+(n+3)!3!x(1−x)−(n+4)

化简 fn(0)n! 得就是 n(n+1)(n+2)6=C3n+2

UPD

具体推导可以看这里

其中有一种简洁的方法

x(1−x)4=x(1+x1+x2+x3+⋯)4

[xn](1+x1+x2+x3+⋯)4就是把n分成4部分的方案数

那么答案就是n-1分成4部分的方案数 由插板法得

Ans=C2n−1+3=C3n+2

#include<cstdio>
using namespace std;

const int P=10007;

int main(){
char s[501]; int n=0;
freopen("t.in","r",stdin);
freopen("t.out","w",stdout);
scanf("%s",s);
for (int i=0;s[i];i++) n=((n<<1)+(n<<3)+s[i]-'0')%P;
printf("%d\n",n*(n+1)%P*(n+2)%P*1668%P);
return 0;
}