[高斯消元] BZOJ1013: [JSOI2008]球形空间产生器sphere

题意

给出n维空间中的n+1个点，保证这些点都在一个球体的表面。求这个n维球体的球心坐标。

给出两个定义：

球心：到球面上任意一点距离都相等的点。

距离：设两个n为空间上的点A, B的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn)，则AB的距离定义为：dist = sqrt( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 + … + (an-bn)^2 )

n<=10

题解

n维,n+1个点想到什么？——解方程。

设球心坐标为(x1,x2,x3...xn)，ai,j 为第i个点的j坐标。

根据球心到球面上任意一点距离都相等，可列出n+1个方程,其中第k个方程为：

∑ni=1(xi−ak,j)2=R2

注意观察式子，虽然x都是二次的，但是如果我们把两个方程相减：

∑ni=1(xi−ak1,j)2−(xi−ak2,j)2=R2−R2

∑ni=1(xi−ak1,j+xi−ak2,j)∗(xi−ak1,j−(xi−ak2,j))=R2−R2

∑ni=1(2∗xi−ak1,j−ak2,j)∗(−ak1,j+ak2,j)=0

就变成一次了。

那么我们把第2~n+1个方程依次减第一个，就得到了n个方程个n未知数的线性方程。

高斯消元求解即可。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=25;
int n;
double a[maxn][maxn],K[maxn][maxn],ans[maxn];
int main(){
freopen("bzoj1013.in","r",stdin);
freopen("bzoj1013.out","w",stdout);
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n+1;i++)
for(int j=1;j<=n;j++) scanf("%lf",&a[i][j]);
for(int i=2;i<=n+1;i++)
for(int j=1;j<=n;j++) K[i-1][j]+=(a[i][j]-a[1][j])*2, K[i-1][0]+=(a[i][j]-a[1][j])*(-a[i][j]-a[1][j]);

for(int i=1;i<=n;i++){
int where=0;
for(int j=i;j<=n;j++) if (K[j][i]!=0) where=j;
for(int j=0;j<=n;j++) swap(K[where][j],K[i][j]);
for(int j=i+1;j<=n;j++){
double t=K[j][i]/K[i][i];
for(int k=0;k<=n;k++) K[j][k]-=t*K[i][k];
}
}
for(int i=n;i>=1;i--){
ans[i]=-K[i][0];
for(int j=i+1;j<=n;j++) ans[i]-=K[i][j]*ans[j];
ans[i]/=K[i][i];
}
for(int i=1;i<=n-1;i++) printf("%.3lf ",ans[i]); printf("%.3lf\n",ans
);
return 0;
}