POJ2891 Strange Way to Express Integers (扩展欧几里德)
2017-02-20 21:34
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x ≡ r1 (mod a1)
x ≡ r2 (mod a2)
x ≡ r3 (mod a3)
......
x ≡ rk (mod ak)
的解x(a1,a2,a3,.....ak 并不一定互质)。如果不存在则输出-1.
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先来分析规模小一点的。
对于一组同余方程
\(\begin {cases} x \mod a_1=r_1\\ x\mod a_2=r_2\end{cases}\to\begin{cases}k_1*a_1+r_1=x\\ k_2* a_2+r_2=x\end {cases}\)
我们可以上下两式相减得出
$ k_1* a_1-k_2* a_2=r_2-r_1$
我们可以发现,这个式子可以用扩展欧几里德来求解。于是我们求出了\(k_1\)
便可以将其带入原来的式子,求出\(x=k_1*a_1+r_1\)。这是两个方程的求解,面对多个方程,我们可以这样做:
假设我们刚才求出的是\(x_1\),而为了求出满足三个方程的解\(x_2\)我们可以得到这样的式子
\(\begin {cases} x_2\mod lcm(a_1,a_2)=x_1\\ x_2\mod a_3=r_3\end{cases}\)
证明:
\(x_2=k_3*lcm(a_1,a_2)+x_1\) ,因为\(k_3*lcm(a_1,a_2)\)这一块肯定能整除\(a_1\)或\(a_2\),所以肯定会剩下一个\(c_1\),而\(c_1\)恰好满足前面的方程
用同样的方法,我们可以求出满足所有式子的解。
题目大意
求解一组同余方程x ≡ r1 (mod a1)
x ≡ r2 (mod a2)
x ≡ r3 (mod a3)
......
x ≡ rk (mod ak)
的解x(a1,a2,a3,.....ak 并不一定互质)。如果不存在则输出-1.
输入格式
有多组数据,每组数组第一行为k,后面有k行,每行两个数,代表ai,ri。输出格式
每一行对应每一个询问的解x。样例输入
28 7
11 9
样例输出
31分析
看到这一题,可以发现好像问的就是中国剩余定理的问题,可是题目中a并不互质,无法用中国剩余定理来解决。不过我们可以从扩展欧几里德算法入手。先来分析规模小一点的。
对于一组同余方程
\(\begin {cases} x \mod a_1=r_1\\ x\mod a_2=r_2\end{cases}\to\begin{cases}k_1*a_1+r_1=x\\ k_2* a_2+r_2=x\end {cases}\)
我们可以上下两式相减得出
$ k_1* a_1-k_2* a_2=r_2-r_1$
我们可以发现,这个式子可以用扩展欧几里德来求解。于是我们求出了\(k_1\)
便可以将其带入原来的式子,求出\(x=k_1*a_1+r_1\)。这是两个方程的求解,面对多个方程,我们可以这样做:
假设我们刚才求出的是\(x_1\),而为了求出满足三个方程的解\(x_2\)我们可以得到这样的式子
\(\begin {cases} x_2\mod lcm(a_1,a_2)=x_1\\ x_2\mod a_3=r_3\end{cases}\)
证明:
\(x_2=k_3*lcm(a_1,a_2)+x_1\) ,因为\(k_3*lcm(a_1,a_2)\)这一块肯定能整除\(a_1\)或\(a_2\),所以肯定会剩下一个\(c_1\),而\(c_1\)恰好满足前面的方程
用同样的方法,我们可以求出满足所有式子的解。
#include <cstdio> #include <iostream> #include <cmath> #include <queue> #include <algorithm> #include <cstring> #include <climits> #define MAXN 10000+10 #define abs(a) a>0?a:-a using namespace std; long long e_gcd(long long a,long long b,long long& x,long long& y) { if(!b) { x=1;y=0; return a; } long long ans=e_gcd(b,a%b,x,y); long long tmp=x; x=y; y=tmp-a/b*y; return ans; } long long a1,a2,b1,b2,x,y,gcd,t,c; int main() { while(scanf("%lld",&t)!=EOF) { scanf("%lld%lld",&a1,&b1); int flag=0; if(t==1) printf("%lld\n",b1); else { for(int i=2;i<=t;i++) { scanf("%lld%lld",&a2,&b2); if(flag) continue; gcd=e_gcd(a1,a2,x,y); if((b2-b1)%gcd!=0) {flag=1;} x*=(b2-b1)/gcd; x%=a2/gcd; if(x<0) x+=abs(a2/gcd); c=a1*x+b1; a1=a1/gcd*a2; b1=c; } } if(flag==1) {printf("-1\n");continue;} printf("%lld\n",c); } return 0; }
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