Bellman-Ford最短路径算法

原文地址:http://blog.csdn.net/sunnyyoona/article/details/45222073

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单源最短路径

给定一个图,和一个源顶点src,找到从src到其它所有所有顶点的最短路径，图中可能含有负权值的边。

Dijksra的算法是一个贪婪算法,时间复杂度是O(VLogV)(使用最小堆)。但是迪杰斯特拉算法在有负权值边的图中不适用,Bellman-Ford适合这样的图。在网络路由中，该算法会被用作距离向量路由算法。

Bellman-Ford也比迪杰斯特拉算法更简单和同时也适用于分布式系统。但Bellman-Ford的时间复杂度是O(VE),这要比迪杰斯特拉算法慢。（V为顶点的个数,E为边的个数）

算法描述

输入:图 和 源顶点src

输出:从src到所有顶点的最短距离。如果有负权回路(不是负权值的边),则不计算该最短距离，没有意义，因为可以穿越负权回路任意次，则最终为负无穷。

算法步骤

1.初始化：将除源点外的所有顶点的最短距离估计值 dist[v] ← +∞, dist[s] ←0;

2.迭代求解：反复对边集E中的每条边进行松弛操作，使得顶点集V中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离；（运行|v|-1次）

3.检验负权回路：判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点，则算法返回false，表明问题无解；否则算法返回true，并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在 dist[v]中。

关于该算法的证明也比较简单，采用反证法，具体参考：http://courses.csail.mit.edu/6.006/spring11/lectures/lec15.pdf

该算法是利用动态规划的思想。该算法以自底向上的方式计算最短路径。

它首先计算最多一条边时的最短路径(对于所有顶点)。然后,计算最多两条边时的最短路径。外层循环需要执行|V|-1次。

例子

一下面的有向图为例：给定源顶点是0，初始化源顶点距离所有的顶点都是是无穷大的,除了源顶点本身。因为有5个顶点，因此所有的边需要处理4次。



按照以下的顺序处理所有的边：(B,E), (D,B), (B,D), (A,B), (A,C), (D,C), (B,C), (E,D).

第一次迭代得到如下的结果(第一行为初始化情况,最后一行为最终结果)：

当 (B,E), (D,B), (B,D) 和 (A,B) 处理完后，得到的是第二行的结果。

当 (A,C) 处理完后，得到的是第三行的结果。

当 (D,C), (B,C) 和 (E,D) 处理完后，得到第四行的结果。



第一次迭代保证给所有最短路径最多只有1条边。当所有的边被第二次处理后，得到如下的结果(最后一行为最终结果)：



第二次迭代保证给所有最短路径最多只有2条边。我们还需要2次迭代(即所谓的松弛操作)，就可以得到最终结果。

public class BellmanFord {

// 原点
private int s;

// 从原点到达i的距离为dist[i]
private double dist[];

// 最短路径的前驱节点
private int[] prev;

// 是否含有负权重环，默认false表示不含有
private boolean negativeCycle;

public BellmanFord(WeightDigraph g, int s) {

int v = g.v();
this.s = s;

dist = new double[v];
prev = new int[v];

for (int i = 0; i < v; i++) {
dist[i] = Double.POSITIVE_INFINITY;
prev[i] = -1;
}

/**
* 由于最短路径一定是一条不含有环的简单路径 1.如果有正环，一定不是最短路径 2.如果是0环，可以去掉改环多余部分也不影响
* 3.如果是负环，则表示不存在最短路径
*
* 简单路径中，数量为V的元素个数形成的最短路径有为V-1个边，对所有边进行V-1次更新，会得到所有点的最短路径
*/
// 不含有负环，所以s->s的最短路径当然为0
dist[s] = 0;

for (int i = 0; i < v - 1; i++) {
for (int m = 0; m < v; m++) {
relax(m, g);
}
}

/**
* 在完成了v-1次全部边更新之后，理应无法继续更新，因为已经找到了s距离每个点的最短路径，如果还能继续更新，说明该图中含有负环。
* 一旦该图含有负环，则表示可以无限次更新下去，也就是说该图根本不存在最短路径
*/

for (int m = 0; m < v; m++) {
for (Edge edge : g.adj(m)) {
int n = edge.otherSide(m);

if (dist
> dist[m] + edge.weight()) {
// 含有负权重环
negativeCycle = true;
return;
}
}
}

}

private void relax(int m, WeightDigraph g) {
for (Edge edge : g.adj(m)) {
int n = edge.otherSide(m);

if (dist
> dist[m] + edge.weight()) {
dist
= dist[m] + edge.weight();
prev
= m;
}
}
}

/**
*
* @Title: distTo
* @Description: s->d的最短距离
* @param @param d
* @param @return 设定文件
* @return double 返回类型
* @throws
*/
public double distTo(int d) {
return dist[d];
}

/**
*
* @Title: hasPathTo
* @Description: s->d是否存在可达路径
* @param @param d
* @param @return 设定文件
* @return boolean 返回类型
* @throws
*/
public boolean hasPathTo(int d) {
return distTo(d) < Double.POSITIVE_INFINITY;
}

/**
*
* @Title: pathTo
* @Description: s->d的最短路径
* @param @param d
* @param @return 设定文件
* @return Iterable<Integer> 返回类型
* @throws
*/
public Iterable<Integer> pathTo(int d) {
if (!hasPathTo(d))
return null;
Stack<Integer> path = new Stack<Integer>();

for (int i = d; i != -1; i = prev[i]) {
path.push(i);
}

return path;
}

public static void main(String[] args) {
//不含负权重环的文本数据
String text1="F:\\算法\\attach\\tinyEWDn.txt";
//含有负权重环的文本数据
String text2="F:\\算法\\attach\\tinyEWDnc.txt";
WeightDigraph g = new WeightDigraph(new In(text1
));
BellmanFord d = new BellmanFord(g, 0);

if (d.negativeCycle) {
System.out.println("该有向加权图含有负权重环，不存在最短路径");
} else {
for (int i = 0; i < g.v(); i++) {
Iterable<Integer> path = d.pathTo(i);
if (path == null) {
System.out.println("从原点" + d.s + "到" + i + "没有可达路径");
} else {
System.out.println("从原点" + d.s + "到" + i + "的最短距离为："
+ d.distTo(i));
System.out.print("路径为：");
for (int j : d.pathTo(i)) {
System.out.print(j + "->");
}
System.out.println();
}
}
}
}
}