【BZOJ 2257】【JSOI 2009】瓶子和燃料 【裴蜀定理】

Description

jyy就一直想着尽快回地球，可惜他飞船的燃料不够了。

有一天他又去向火星人要燃料，这次火星人答应了，要jyy用飞船上的瓶子来换。jyy

的飞船上共有 N个瓶子(1<=N<=1000) ，经过协商，火星人只要其中的K 个 。 jyy

将 K个瓶子交给火星人之后，火星人用它们装一些燃料给 jyy。所有的瓶子都没有刻度，只在瓶口标注了容量，第i个瓶子的容量为Vi（Vi 为整数，并且满足1<=Vi<=1000000000 ） 。

火星人比较吝啬，他们并不会把所有的瓶子都装满燃料。他们拿到瓶子后，会跑到燃料库里鼓捣一通，弄出一小点燃料来交差。jyy当然知道他们会来这一手，于是事先了解了火星人鼓捣的具体内容。火星人在燃料库里只会做如下的3种操作：

1、将某个瓶子装满燃料；

2、将某个瓶子中的燃料全部倒回燃料库；

3、将燃料从瓶子a倒向瓶子b，直到瓶子b满或者瓶子a空。燃料倾倒过程中的损耗可以忽略。火星人拿出的燃料，当然是这些操作能得到的最小正体积。

jyy知道，对于不同的瓶子组合，火星人可能会被迫给出不同体积的燃料。jyy希望找到最优的瓶子组合，使得火星人给出尽量多的燃料。

Input

第1行：2个整数N,K，

第2..N 行：每行1个整数，第i+1 行的整数为Vi

Output

仅1行，一个整数，表示火星人给出燃料的最大值。

Sample Input

3 2

3

4

4

Sample Output

4

HINT

选择第2 个瓶子和第 个瓶子，火星人被迫会给出4 体积的容量。

题解

这题就是不断地倒水，最后能得到的最小值一定是这k个数的最大公约数。（由裴蜀定理可知）

设a1,a2,a3……an为n个整数，d是它们的最大公约数，那么存在整数x1……xn使得x1*a1+x2*a2+…xn*an=d。

特别来说，如果a1…an互质（不是两两互质），那么存在整数x1……xn使得x1*a1+x2*a2+…xn*an=1。证法类似两个数的情况。

所以找出n个数所有因数，从大到小第一个出现k次的即是答案。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;

int y[1000000];
int len,n,x,temp,k;

void work(int x)
{
for(int i = 1;i <= sqrt(x);i++)
if(x % i == 0)
{
y[++len] = i;
if(i != x / i) y[++len] = x/i;
}
return;
}

int main()
{
scanf("%d%d",&n,&k);
len = 0;
for(int i = 1;i <= n;i++)
{
scanf("%d",&x);
work(x);
}
sort(y + 1,y + len + 1);
temp = 1;
for(int i = len-1;i >= 1;i--)
{
if(y[i] == y[i+1])temp++;
else
{
if(temp >= k) {printf("%d",y[i+1]); return 0;}
temp = 1;
}
}
return 0;
}