斜率优化dp 学习笔记

从一个问题开始

真正理解斜率优化dp

orz ISA

1 问题

Apio 2010 特别行动队

1.1 题意简述

给出一个序列x1,x2...xn，将其划分成若干个连续的区间，每一段区间[l,r]的价值为ax2+bx+c，其中x=∑i=lrxi

现在你需要最大化序列的价值

1.2 数据范围

对于20%的数据，n≤1000

对于100%的数据，1≤n≤106，−5≤a≤−1，|b|≤107，|c|≤107，1≤xi≤100

1.3 讨论

1.3.1 20pts

令f(i)表示将序列的前i个划分若干段的最大价值，si表示序列的前缀和

直接根据题意，可以列出状态转移方程

f(i)=max{f(j)+a∗(si−sj)2+b∗(si−sj)+c}，1≤j<i

然后直接dp就可以了

时间复杂度O(n2)

1.3.2 100pts

数据范围只能允许一个O(n)级别的算法

将转移方程进一步展开，能得到

f(i)=max{f(j)+as2i−2asisj+as2j+bsi−bsj+c}，1≤j<i

将其顺序调整，写成下面的形式

f(i)=max{−2asjsi+f(j)+as2j−bsj+as2i+bsi+c}，1≤j<i

观察这个式子

首先，最后三项，只和a,b,c以及si有关。换句话说，在求f(i)的值时，这三项是与j的选取无关的，我们称之为常数项

对于常数项，可以直接将其拿到max之外

f(i)=max{−2asjsi+f(j)+as2j−bsj}+as2i+bsi+c，1≤j<i

然后再观察前面4项，可以发现si是与j的选取无关的，只与si的选取有关；而其余都只与j的选取有关，而与i的选取无关

si有什么性质？

si为正项序列的前缀和，显然它一定是对于1...n单调递增的

在求解f(i)的过程中，我们也一定是按照1...n的顺序求，也就是说，在求解f(i)的过程中si单调递增

我们考虑将前四项抽象成一条直线

令y=kx+b

其中k=−2asj，b=f(j)+as2j−bsj

也就是说，对于每一个j(1≤j≤n)，都有一条确定的直线

那么在求解f(i)的时候，对于之前的一个确定的j，将si带入解析式就能求出这个j所对应的函数值

如果枚举每一个j，求出相应的函数值来更新f(i)的话，实际上就是O(n2)dp的方法了

但是我们现在不能枚举，需要直接求出，也就是说，需要确定一条能取到最优值的直线

所以说，什么是斜率优化dp？

对于每一个i(1≤i≤n)，将i抽象成一条直线

求f(i)时，求之前的所有直线在自变量为某一个数时的最优值

根据直线的斜率和自变量的增减关系，维护出一个O(n)的算法

明白了这个之后，就已经基本上明白了斜率优化的大体过程

1.4 题解

对于这道题来说

由于−5≤a≤−1，可以得出k>0，即所有直线的斜率为正

由于si单增，求f(i)的过程中，顺次加入直线，直线的斜率也始终单增

维护一个斜率单增的单调双端队列，两个指针l,r

每一次加入一条直线yi之前，判断队首的两条直线yl和yl+1在si处的函数值，如果yl≤yl+1，说明直线yl已不是最优值，并且以后也不可能成为最优值，将其出队

计算f(i)，此时最优的直线即为队首的直线yl

加入直线yi，如果yi与yr−1已经将yr完全覆盖，那么将yr弹出

举个栗子



在求解f(3)的时候，需要查看f(1)和f(2)所表示的两条直线在s3处的函数值，然后取最大

如图所示，显然选y2比选y1要优

由于si单增，以后在求解f(4)、f(5)...的时候，这两条直线在s4、s5...处的函数值y1也不可能比y2更优，所以y1实际上就已经可以扔掉了

还有一种情况



可以发现，顺次插入y1,y2,y3这三条直线，因为要取最大值，y2实际上已经被y1和y3完全覆盖了，无论si取何值，它都已经不可能成为最优的答案，这个时候y2也可以扔掉了

实际上就是维护了一个下凸壳啊

我刚开始不明白为什么完全覆盖的要扔掉，不扔直接做不行么

这里有一个反例



此时y1和y3已经将y2完全覆盖，应该扔掉

但是如果不扔掉的话，查询此时在s4处的最优值

显然y1>y2，这个时候会默认y1即为最优值，不会将y1弹出

而实际上y3才是真正的最优值

所以判断是否有两条直线将另外一条覆盖是完全必要的

如何判断两条直线已经被另一条直线覆盖？

知识储备：初中数学

如上图，令y1=k1x+b1,y2=k2x+b2,y3=k3x+b3

则求y1与y3的交点横纵坐标为

k1x+b1=k3x+b3

x=b3−b1k1−k3

y=k1b3−b1k1−k3+b1

然后求y2在x处的函数值

y2=k2b3−b1k1−k3+b2

若y2≤y

即k2b3−b1k1−k3+b2≤k1b3−b1k1−k3+b1

b3−b1k1−k3≤b2−b1k1−k2

(k1−k3)∗(b2−b1)≤(k1−k2)∗(b3−b1)

那么直线y2已经被y1和y3完全覆盖

如果斜率为负或者斜率单减的话别搞错了正负号就好

这就是整个斜率优化的过程

1.5 代码

代码简洁清晰明了

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
#define LL long long
#define N 1000005

int n,l,r;
LL a,b,c,x;
int q
;
LL s
,f
;

LL K(int j) {return -2*a*s[j];}
LL B(int j) {return f[j]+a*s[j]*s[j]-b*s[j];}
LL Y(int i,int j) {return K(j)*s[i]+B(j);}
bool cover(int x1,int x2,int x3)
{
LL w1=(K(x1)-K(x3))*(B(x2)-B(x1));
LL w2=(K(x1)-K(x2))*(B(x3)-B(x1));
return w1<=w2;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
for (int i=1;i<=n;++i) scanf("%lld",&x),s[i]=s[i-1]+x;
l=r=0;
for (int i=1;i<=n;++i)
{
while (l<r&&Y(i,q[l])<=Y(i,q[l+1])) ++l;
f[i]=Y(i,q[l])+a*s[i]*s[i]+b*s[i]+c;
while (l<r&&cover(i,q[r],q[r-1])) --r;
q[++r]=i;
}
printf("%lld\n",f
);
}

2 斜率优化dp

2.1 常见形式

斜率优化dp的状态转移方程有一些比较特殊的性质：

求解最值

每一个状态能转化成一条直线

在求解某一个状态时，因变量为求解的状态值，自变量为与这个状态相关的量

自变量满足单调性，斜率满足单调性

2.2 基本方法

将状态转移方程化成能表示成直线的形式

找出自变量、因变量、斜率、截距，讨论自变量的单调性、斜率的正负及单调性

维护单调双端队列，维护上凸/下凸壳

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ps 原来写的代码都好丑

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