斯坦福机器学习： 网易公开课系列笔记（四）——牛顿法、广义线性模型

牛顿法

给定一个函数，如何求得使f(x)=0的x？对于二次函数，可以直接套用求根公式，但是对于更一般的函数，并不一定有解析形式的解。



为此，我们可以这样做：首先，初始化一个点X0，过f(X0)做函数切线，得到与X轴的交点X1，再过f(X1)做函数切线，得到与X轴的交点X2，以此类推，直至Xn–>X。我们得到X的更新公式：Xn+1=Xn-f(Xn)/f’(Xn)

我们又知道，要求解一个函数的极值就是对该函数求导，令导数f’(x)=0。在我们的优化问题中，我们需要极大化对数似然函数l(Θ)，求出令l’(Θ)=0的Θ值，为此我们得到Θ的更新公式：Θn+1=Θn-l’(Θn)/l”(Θn)（也可以这样想，我们将上述函数看成是l’(Θ)的图像，l’(Θ)=0时的Θ值，即是l(Θ)的极值点），这就是牛顿法的思想，以似然性最大化问题为例，格式化其运行流程：



牛顿法作为一种优化算法，比梯度下降法拥有更快的收敛速度，拥有局部二阶收敛性，即在某一迭代中误差为0.01，则下一次迭代误差为0.0001，再下一次为0.00000001。但是，基本牛顿法初始点需要足够“靠近”极值点，否则，有可能导致算法不收敛。这样就引入了全局牛顿法（因为计算Hession矩阵的复杂度过高，又提出了拟牛顿法，这里不做介绍）。全局牛顿法是基于Armijo搜索的，这里只给出其一般化的执行流程：

广义线性模型（Generalized Linear Models）

指数分布族（exponential family）

如果一个概率分布能够写成如下形式：



则属于指数分布族。我们之前提到的伯努利分布，高斯分布，包括指数分布、泊松分布，都是指数分布族的一员。这里以伯努利分布为例，改写成指数分布族的形式：



对于决策函数属于指数分布族的模型，求解参数Θ的梯度下降法更新公式一致性的证明：

GLMs

GLMs满足假设：

1)y|x;Θ~ExpFamily(η)

2)我们试图寻找Θ，建立一个模型hΘ(x)=E[T(y)|x;Θ]（大多数情况，这里的T(y)=y）

3)参数Θ与x之间满足线性关系

给定一个参数为ϕ的伯努利分布，可以得到：hΘ(x)=E[y|x;Θ]=P(y=1|x;Θ)=ϕ=1/(1+e-η)。其中g(η)=E[y;η]=1/(1+e-η)叫做正则响应函数，g-1(η)称为正则关联函数。

可以看到：逻辑斯蒂回归即伯努利分布化简为指数分布形式自然得到的，同理，最小二乘法即由高斯分布化简后自然得到的。

在前面的问题中，我们建立的分类模型都是二分类问题，即决策函数的输出y只能在{0,1}上取值。如果是多分类问题呢？即y∈{1,2,…,k}，多项式分布(Multinomial Distribition)就可以用来解决此类问题，它也属于指数分布族，不同的是，它的T(y)≠y而是一个n维向量:



至此，我们证明了多项式分布也是属于指数分布族的，这里给出多项式分布参数Θ的对数似然函数：