四旋翼姿态解算——基础理论及推导

对于每个像我一样入坑四轴飞行器不久的新手来说，最初接触也颇为头疼的东西之一就是四轴的姿态解算。由于涉及较多的数学知识，很多人也是觉得十分头疼。所以，我在这里分享一些我学习过程中的笔记和经验，以便大家学习。

两个坐标系：
首先，在一个姿态航向参考系统（简称AHRS）中，我们要定义两个坐标系：导航坐标系 n 和载体坐标系 b 。导航坐标系 n 指的是以地球为参考的坐标系，定义为东北天右手直角坐标系；载体坐标系 b 则是以四轴飞行器自身为参考的坐标系， 也定义为右手直角坐标系，取飞机向前的方向为 Y 轴正方向，取飞机向右的方向为X轴正方向，取飞机向上的方向为Z轴正方向。

四元数、欧拉角、方向余弦：
在百度百科中，欧拉角是这样被描述的：用来确定定点转动刚体位置的3个一组独立角参量，由章动角θ、旋进角（即进动角）ψ和自转角j组成，为欧拉首先提出而得名。简单点来说，就是：绕Z轴旋转为偏航角（YAW）ψ，绕Y轴旋转为横滚角（ROLL）θ，绕X轴旋转为俯仰角（PITCH）φ。

绕Z轴旋转ψ角（YAW）：

定义导航坐标系 n 中某一点的坐标为（x，y，z），使用矩阵表示为： 。设该点在载体坐标系中坐标为（x’，y’，z’），使用矩阵表示为： 。对于该任意点，易得到两个坐标系下坐标之间的关系： 。
表示成矩阵的形式如下：

同理可得：
绕Y轴旋转θ角（ROLL）：

两个坐标系下的转换关系：

绕X轴旋转φ角（PITCH）：

两个坐标系下的转换关系：

由前面的结论可以得到进过三个欧拉角的旋转，得到导航坐标系下的向量 与旋转后的载体坐标系下的向量 之间的关系：

给出由 到 的坐标变换矩阵： 。
所以可以得到用欧拉角表示的坐标变换矩阵：

这样我们就得到了使用欧拉角表示的坐标变换矩阵，这个公式先放在这里，等会再用。

接下来我们来看看四元数：
先看看百度百科中对四元数概念的介绍：（四元数-百度百科 链接：http://baike.baidu.com/link?url=oQzRKzHEoKP6SgD9_qhBZKmsTU5NgSLqtxg4pXtw2hN0dXJQ9v9m11aNVW_M64b7vCeQ_9VNsKXQSnl2rR_FK0NVvGKcIF05d-N2_R9vQ0SLtrzKx9WQ19hHUvbYmd1z）
四元数是简单的超复数。 复数是由实数加上虚数单位 i 组成，其中i^2 = -1。 相似地，四元数都是由实数加上三个虚数单位 i、j、k 组成，而且它们有如下的关系： i^2 = j^2 = k^2 = -1， i^0 = j^0 = k^0 = 1 , 每个四元数都是 1、i、j 和 k 的线性组合，即是四元数一般可表示为a + bk+ cj + di，其中a、b、c 、d是实数。
对于i、j、k本身的几何意义可以理解为一种旋转，其中i旋转代表X轴与Y轴相交平面中X轴正向向Y轴正向的旋转，j旋转代表Z轴与X轴相交平面中Z轴正向向X轴正向的旋转，k旋转代表Y轴与Z轴相交平面中Y轴正向向Z轴正向的旋转，-i、-j、-k分别代表i、j、k旋转的反向旋转。

这里已经讲得比较清楚了，我们可以把四元数看成一个常数加上一个三维矢量，即

四元数的乘法运算：
对于任意一个四元数 来说，q0、q1、q2、q3都是实数，i、j、k为互相正交的单位向量，也是虚单位 。
满足乘法关系如下：

举例：
假设有两个四元数， 和 。
则这两个四元数相乘结果为：

将上面的运算表示成矩阵形式：
设两个四元数Q和P的乘积为四元数 。
则有：

或者
从M(Q)中，第一列为四元数Q本身，第一行为四元数Q的共轭的转置，不管第一行和第一列，我们可以提取出一个3*3的矩阵VQ，称其为M(Q)的核。

同理可得，M(P)的核VP：

四元数的相关知识的准备差不多完成了，下面开始推导四元数的公式：
我们定义一个四元数 ，用来表示从导航坐标系n和载体坐标系b之间的旋转变换：


代入求得：

可以得到旋转矩阵 的数学关系：

到这里我们就推出了使用四元数表示的旋转矩阵 ：

前面使用欧拉角也导出了一个旋转矩阵 ：

联立两者对应项相等，求解方程组即可。解方程的步骤就省略了，直接写出结果。
令
推出结果：
前面我们用欧拉角推导出来的旋转矩阵 也可以叫做方向余弦矩阵（DCM），使用的是Z-Y-X顺规，不做赘述，有兴趣可以再去查找相关资料。
这里我们代入方向余弦矩阵对应项的值求出欧拉角与四元数的关系，并做一些三角函数的变换整理得到下面的形式：

上式是欧拉角用表示四元数的公式。
还是由方向余弦矩阵（DCM）可以得到：



这四个公式的意义是，给出了四元数与欧拉角之间的关系，我们可以很方便地使用这几个公式将欧拉角与四元数相互转换。还需要注意一点，因为方向余弦矩阵的定义不同，对应的欧拉角旋转方式不同，公式也会不同。

到此结束。
这些是我前段时间的学习笔记，最近才开始整理。希望能对更多人的学习提供帮助。欢迎大家互相交流指正。