BZOJ1597: [Usaco2008 Mar]土地购买

Portal

先按x排序。得到一个x单调递增的二元组。

f[i]=min(f[j]+x[i]∗maxy(j+1,i))

maxy(j+1,i)表示，j+1到i，y的最大值。

这个式子没办法从做法上优化。

那么再考虑一个性质：

若x[i]<=x[j]&&y[i]<=y[j] 那么 i 存不存在对答案没有影响，选 j 时带上 i 即可。

因为x已经单调递增，所以我们只需维护y单调递减就可以了。将不需要的矩形删掉。

那么dp方程转为：

f[i]=min(f[j]+x[i]∗y[j+1])

对于决策k优于决策j且k>j

f[k]+x[i]∗y[k+1]<f[j]+x[i]∗y[j+1]

具有决策单调性很显然

对于i之后的所有t，令x[t]=x[i]+c

显然f[k]+(x[i]+c)∗y[k+1]<f[j]+(x[i]+c)∗y[j+1]

斜率式也很好推：

x[i]>f[k]−f[j]y[j+1]−y[k+1]

【代码】

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <queue>
#define INF 1000000001
#define mod 1000000007
#define N 50005
using namespace std;
typedef long long ll;

int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}

int n,m;
int x
,y
,q
;
ll f
;

class Node{
public:
int x,y;
}e
;

bool operator <(Node a,Node b){
return a.x==b.x?a.y<b.y:a.x<b.x;
}

double slope(int j,int k){
return (double) (f[k]-f[j])/(double) (y[j+1]-y[k+1]);
}

int main()
{
n=read();
for(register int i=1;i<=n;i++) e[i].x=read(),e[i].y=read();
sort(e+1,e+1+n);
for(register int i=1;i<=n;i++)
{
while(m&&e[i].y>=y[m]) m--;
x[++m]=e[i].x,y[m]=e[i].y;
}
int l=0,r=0;
for(register int i=1;i<=m;i++)
{
while(l<r&&slope(q[l],q[l+1])<=x[i]) l++;
int t=q[l];f[i]=f[t]+(ll)x[i]*y[t+1];
while(l<r&&slope(q[r],i)<slope(q[r-1],q[r])) r--;
q[ ++r]=i;
}
printf("%lld\n",f[m]);
return 0;
}