bzoj 1137: [POI2009]Wsp 岛屿 （半平面交）

1137: [POI2009]Wsp 岛屿

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Description

Byteotia岛屿是一个凸多边形。城市全都在海岸上。按顺时针编号1到n。任意两个城市之间都有一条笔直的道路相连。道路相交处可以自由穿行。有一些道路被游击队控制了，不能走，但是可以经过这条道路与未被控制的道路的交点。问从城市1到n的最短距离。

Input

第一行正整数n m表示城市数和被控制的岛屿数（3≤n≤10^5 1≤m≤10^6）接下来n行每行两个整数x y表示每个城市的坐标。（|x|,|y|≤10^6）接下来m行描述一条不能走的道路（起点和终点）。数据保证有解。

Output

输出一个实数，最短距离，误差10^-5以内均算正确。

Sample Input

6 9

-12 -10

-11 6

-4 12

6 14

16 6

18 -2

3 4

1 5

2 6

2 3

4 5

3 5

1 3

3 6

1 6

Sample Output

42.000000000

HINT

Source

鸣谢 vfleaking

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题解：半平面交

这道题一看数据范围就知道一定不能用普通的最短路做。

所以我们考虑半平面交。最短的路径应该就是所有可以通行的直线交出的凸包的周长，但是O(n(n-1)/2)做不了半平面交。其实可以发现与i相连的有用的直线就是i能到达的最远的点与i的连线。

然后我们加入直线1->n，算答案的时候再减掉即可。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define N 500003
#define eps 1e-8
#define inf 1000000000
using namespace std;
int n,m,v
,pos
,head,tail,cnt;
struct data{
int x,y;
}e[N*4];
struct vector{
double x,y;
vector(double X=0,double Y=0) {
x=X,y=Y;
};
}a
,p
,poly
;
vector operator-(vector a,vector b){
return vector (a.x-b.x,a.y-b.y);
}
vector operator+(vector a,vector b){
return vector (a.x+b.x,a.y+b.y);
}
vector operator*(vector a,double val){
return vector (a.x*val,a.y*val);
}
struct line{
vector p,v;
double ang;
line() {
p=vector(); v=vector();
}
line(vector a,vector b){
p=a; v=b-a; ang=atan2(v.y,v.x);
}
}l
,q
;
bool operator <(line a,line b){
return a.ang<b.ang;
}
int dcmp(double x){
if (fabs(x)<eps) return 0;
return x<0?-1:1;
}
double cross(vector a,vector b){
return a.x*b.y-a.y*b.x;
}
vector glt(line a,line b)
{
vector u=a.p-b.p;
double t=cross(b.v,u)/cross(a.v,b.v);
return a.p+a.v*t;
}
void init()
{
p[1]=vector(-inf,-inf); p[2]=vector(inf,-inf); p[3]=vector(inf,inf); p[4]=vector(-inf,inf);
l[++m]=line(p[4],p[1]);
l[++m]=line(p[3],p[4]);
l[++m]=line(p[2],p[3]);
l[++m]=line(p[1],p[2]);
}
bool Onleft(line a,vector w){
return cross(a.v,(w-a.p))>=-eps;
}
void halfpins()
{
sort(l+1,l+m+1);
head=tail=1; q[1]=l[1];
for (int i=2;i<=m;i++) {
while (head<tail&&!Onleft(l[i],p[tail-1])) --tail;
while (head<tail&&!Onleft(l[i],p[head])) head++;
q[++tail]=l[i];
if (fabs(cross(q[tail].v,q[tail-1].v))<eps) {
--tail;
if (Onleft(q[tail],l[i].p)) q[tail]=l[i];
}
if (head<tail)
p[tail-1]=glt(q[tail-1],q[tail]);
}
while (head<tail&&!Onleft(q[head],p[tail-1])) --tail;
if (tail-head<=1) return;
p[tail]=glt(q[tail],q[head]);
for (int i=head;i<=tail;i++) poly[++cnt]=p[i];
poly[cnt+1]=poly[1];
}
int cmp(data a,data b){
return a.x<b.x||a.x==b.x&&a.y>b.y;
}
double get_len(vector a)
{
return sqrt(a.x*a.x+a.y*a.y);
}
int main()
{
freopen("a.in","r",stdin);
//freopen("my.out","w",stdout);
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf",&a[i].x,&a[i].y);
for (int i=1;i<=m;i++) {
scanf("%d%d",&e[i].x,&e[i].y);
if (e[i].x>e[i].y) swap(e[i].x,e[i].y);
}
sort(e+1,e+m+1,cmp);
for (int i=1;i<=m;i++) pos[e[i].x]=max(pos[e[i].x],i);
for (int i=1;i<=n;i++) {
if (pos[i]<pos[i-1]) {
if (i!=n) v[i]=n;
continue;
}
if (e[pos[i-1]+1].y!=n) {
v[i]=n;
continue;
}
for(int j=pos[i-1]+1;j<=pos[i];j++)
if (e[j].y!=e[j+1].y+1||j+1>pos[i]) {
v[i]=e[j].y-1;
break;
}
if (v[i]<=i) v[i]=0;
}
if (v[1]==n) {
printf("%.5lf\n",get_len(a
-a[1]));
return 0;
}
m=0; init();
l[++m]=line(a[1],a
);
for (int i=1;i<=n;i++)
if (v[i]) l[++m]=line(a[v[i]],a[i]);
halfpins();
double ans=0;
for (int i=1;i<=cnt;i++)
ans+=get_len(poly[i%cnt+1]-poly[(i+1)%cnt+1]);
printf("%.5lf\n",ans-get_len(a
-a[1]));
}