[最小割+对偶建图+最短路] BZOJ1001: [BeiJing2006]狼抓兔子

题意

题解

题意其实就是求最小割。但是发现点数和边数都特别大，直接上最大流肯定T了。那么如何转换呢？

对于可以画在一个平面且没有边相交的图，我们称之为平面图。平面图中的边把平面分割为一个一个面，本题的面即是一个个三角形。最外围的无穷大的面称为外部面。

所谓对偶建图即是把面当做节点，对于每条公共边界，对应的两个面之间连边。

对于最小割问题，我们就可以把S-T的一个割看成一条路径，其经过的边即是割掉的边，边权之和即是割的容量。这样是不是就转化成了最短路了呢？

还有一个问题，如何建出起点和终点呢？

其实很套路，从原图的源到汇连一条不交与其他边的线，形成了一个附加面，设这个面为起点，那么外部面即是终点。

就像这样：



最短路的话复杂度就可以承受了，heap+dij或spfa都可以。

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=2000015, maxe=6500005, MOD=maxn+50;
int n,m,S,T,dis[maxn],que[MOD+5];
int fir[maxn],son[maxe],nxt[maxe],w[maxe],tot;
bool vis[maxn];
void add(int x,int y,int z){
son[++tot]=y; w[tot]=z; nxt[tot]=fir[x]; fir[x]=tot;
}
inline int id(int x,int y){ return ((x-1)*m+y)<<1; }
inline void swap(int &x,int &y){ int t=x; x=y; y=t; }
void spfa(){
memset(dis,63,sizeof(dis)); dis[S]=0;
que[1]=S;
int head=0,tail=1;
while(head!=tail){
int x=que[head=(head+1)%MOD];
vis[x]=false;
for(int j=fir[x];j;j=nxt[j]) if(dis[x]+w[j]<dis[son[j]]){
dis[son[j]]=dis[x]+w[j];
if(!vis[son[j]]){
vis[son[j]]=true, que[tail=(tail+1)%MOD]=son[j];
if(dis[que[(head+1)%MOD]]>dis[que[tail]]) swap(que[(head+1)%MOD],que[tail]);
}
}
}
}
int main(){
freopen("bzoj1001.in","r",stdin);
freopen("bzoj1001.out","w",stdout);
scanf("%d%d",&n,&m); n--; m--;
if(!n||!m){
int ans=1e+9,x;
while(scanf("%d",&x)==1) ans=x<ans?x:ans;
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
S=2*n*m+1; T=2*n*m+2;
int x;
for(int j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&x), add(S,id(1,j),x);
for(int i=2;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&x), add(id(i-1,j)-1,id(i,j),x), add(id(i,j),id(i-1,j)-1,x);
for(int j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&x), add(id(n,j)-1,T,x);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&x); add(id(i,1)-1,T,x);
for(int j=2;j<=m;j++) scanf("%d",&x), add(id(i,j-1),id(i,j)-1,x), add(id(i,j)-1,id(i,j-1),x);
scanf("%d",&x); add(S,id(i,m),x);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&x), add(id(i,j)-1,id(i,j),x), add(id(i,j),id(i,j)-1,x);
spfa();
printf("%d\n",dis[T]);
return 0;
}