bzoj 1038: [ZJOI2008]瞭望塔 （半平面交）

1038: [ZJOI2008]瞭望塔

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Description

　　致力于建设全国示范和谐小村庄的H村村长dadzhi，决定在村中建立一个瞭望塔，以此加强村中的治安。我们

将H村抽象为一维的轮廓。如下图所示 我们可以用一条山的上方轮廓折线(x1, y1), (x2, y2), …. (xn, yn)来描

述H村的形状，这里x1 < x2 < …< xn。瞭望塔可以建造在[x1, xn]间的任意位置, 但必须满足从瞭望塔的顶端可

以看到H村的任意位置。可见在不同的位置建造瞭望塔，所需要建造的高度是不同的。为了节省开支，dadzhi村长

希望建造的塔高度尽可能小。请你写一个程序，帮助dadzhi村长计算塔的最小高度。

Input

　　第一行包含一个整数n，表示轮廓折线的节点数目。接下来第一行n个整数, 为x1 ~ xn. 第三行n个整数，为y1

 ~ yn。

Output

　　仅包含一个实数，为塔的最小高度，精确到小数点后三位。

Sample Input

【输入样例一】

6

1 2 4 5 6 7

1 2 2 4 2 1

【输入样例二】

4

10 20 49 59

0 10 10 0

Sample Output

【输出样例一】

1.000

【输出样例二】

14.500

HINT

 N ≤ 300，输入坐标绝对值不超过106，注意考虑实数误差带来的问题。

Source

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题解：半平面交

这道题边界要到1e11,精度控制要到1e-9，否则过不了。。。

解法就是对于相邻的两个点构造向量，求半平面交。

半平面交求得的区域就是可以建瞭望塔的区域，然后就是求得到的区域的边界与下方折线的边界的最近距离。

这个最短距离只可能出现在上下边界的顶点上，所以计算出来取最小值即可。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define N 303
#define eps 1e-9
using namespace std;
const double inf=1e11;
int n,m;
struct vector{
double x,y;
vector (double X=0,double Y=0) {
x=X,y=Y;
}
}p
,line
,a
,tmp
;
bool operator <(vector a,vector b)
{
return a.x<b.x||a.x==b.x&&a.y<b.y;
}
vector operator -(vector a,vector b){
return vector (a.x-b.x,a.y-b.y);
}
vector operator +(vector a,vector b){
return vector (a.x+b.x,a.y+b.y);
}
vector operator *(vector a,double val){
return vector (a.x*val,a.y*val);
}
double cross(vector a,vector b){
return a.x*b.y-a.y*b.x;
}
void init()
{
m=0;
p[m++]=vector(0,0);
p[m++]=vector(inf,0);
p[m++]=vector(inf,inf);
p[m++]=vector(0,inf);
}
int dcmp(double x)
{
if (fabs(x)<eps) return 0;
if (x>0) return 1;
else return -1;
}
vector glt(vector a,vector a1,vector b,vector b1)
{
vector v=a1-a; vector w=b1-b;
vector u=a-b;
double t=cross(w,u)/cross(v,w);
return a+v*t;
}
void cut(vector a,vector b)
{
int cnt=0;
memset(tmp,0,sizeof(tmp));
for (int i=0;i<m;i++) {
double c=cross(b-a,p[i]-a);
double d=cross(b-a,p[(i+1)%m]-a);
if (dcmp(c)<=0) tmp[cnt++]=p[i];
if (dcmp(c*d)<0)
tmp[cnt++]=glt(a,b,p[i],p[(i+1)%m]);
}
m=cnt;
//cout<<m<<endl;
for (int i=0;i<cnt;i++) p[i]=tmp[i];
}
int main()
{
freopen("tower.in","r",stdin);
freopen("tower.out","w",stdout);
scanf("%d",&n);
for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf",&a[i].x);
for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf",&a[i].y);
double mn=inf;
init();
for(int i=2;i<=n;i++) cut(a[i],a[i-1]);
for(int i=0;i<m;i++) {
if (p[i].x==0||p[i].x==inf) continue;
int l=1; int r=n; int ans=0;
while (l<=r) {
int mid=(l+r)/2;
if (a[mid].x<=p[i].x) ans=max(ans,mid),l=mid+1;
else r=mid-1;
}
l=ans;
double k=(a[l+1].y-a[l].y)/(a[l+1].x-a[l].x);
double b=a[l].y-k*a[l].x;
double v=k*p[i].x+b;
mn=min(mn,p[i].y-v);
}
//for (int i=0;i<m;i++) printf("%.3lf %.3lf\n",p[i].x,p[i].y);
int cnt=0;
for (int i=0;i<m;i++)
if (p[i].y!=inf||(p[i].x!=inf&&p[i].x!=0)) p[cnt++]=p[i];
m=cnt;
sort(p,p+m);
//for (int i=0;i<m;i++) printf("%.3lf %.3lf\n",p[i].x,p[i].y);
for (int i=1;i<=n;i++) {
int l=0; int r=m-1; int ans=0;
while (l<=r) {
int mid=(l+r)/2;
if (p[mid].x<=a[i].x) ans=max(ans,mid),l=mid+1;
else r=mid-1;
}
l=ans;
double k=(p[l+1].y-p[l].y)/(p[l+1].x-p[l].x);
double b=p[l].y-k*p[l].x;
double v=k*a[i].x+b; //printf("%.3lf\n",v);
mn=min(mn,v-a[i].y);
}
printf("%.3lf\n",mn+eps);
}