BZOJ 2745: [HEOI2012]Bridge

2745: [HEOI2012]Bridge

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Description

fyg背着他的电脑来到河北省来，就是为了见一眼古老的赵州桥。
终于，他来到了赵州桥，放下了电脑，正准备休息。一阵风吹来，从中闪现出一人影。fyg只觉天昏地暗，待得再次睁开眼时，发觉自己已经到了一神奇的国度，置身于一巨大的圆盘之上。放眼看去，四周都是奇形怪状的桥，不远处有一老头盘膝而坐。 fyg还沉浸在惊奇之中，老头（难道就是传说中走过赵州桥的张老头！！）便开口了：凡人，你现在在我的世界中，想要出去就要回答我的问题。fyg只得点头，老头继续道：你现在要去闯关，我给你m种颜色，总共有n关（神仙也懂数学，表示压力巨大。。==）。每一关中有一座桥，在第i关中，桥长度有i个单位，每个单位长度上有2个格子（也就是说这座桥有2i个格子），现在你要计算出：在这座桥上涂色使得桥上相邻格子的颜色不一样总方案数，然后再乘上（2*i）^m。如在第1关，若你手上有2种颜色，分别为蓝色和绿色。则总方案数为2*2*2 =8种，涂色方案数为2（如下图，旋转、翻转相同算不同的方案），然后还要再乘2个2，最后你出来之后我会问你所有关中计算出来的数的和。如果你能答对，我就可以让你出去了，否则就无限轮回吧。
fyg表示这个问题太水了，完全不想算。。。于是， 他马上打开电脑上了QQ找到了喜欢计算的你，求你 帮他直接把最终 答案算出来，让他回到赵州桥上。这两个数都有可能很大，fyg 不想为难你，所以你只要告诉他其除以p的余数。

Input

只有一行，其中包含四个正数n、m、p，分别由一个空格分开。n、m、p含义和题目描 述一致。

Output

一行，表示方案数的和除以p的余数。

Sample Input

2 5 50

Sample Output

30

【样例说明】

总共有2关。

第一关的桥长度为1，总共有2个格子，涂色方案数为20，再乘上2 ^ 5，第一关中 计算出的数为640。

第二关的桥长度为2，总共有4个格子，涂色方案数为260，再乘上4 ^ 5，第二关中 计算出的数为266240。

两个数字加起来除以50余30，故输出为30。

HINT

【数据范围】

对于其中25%的数据，满足 n <= 10^6，m <= 200，p <= 10^9； 对于其中40%的数据，满足 n <= 10^9，m <= 120，p <= 10^9； 对于其中15%的数据，满足 n <= 10^9，m <= 200，p <= 10^9； 对于最后20%的数据，满足 n<= 10^9，m <= 3000，p <= 3000；

Source

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写了一天的二逼题，KCUF

首先说一下，题目中的桥是2xN的，而不是1x2N的，别想错了，不然就真的走远了。

然后可以手推一下样例，发现是个简单的DP，甚至连DP都称不上，就是个统计问题，这时你应该得到了一个式子——

$answer=2^{m}(m^{2}-m)\sum_{i=1}^{n}{i^{m}(m^{2}-3m+3)^{i-1}}$，推不出来还是洗洗睡吧。

然后看到数据范围，发现有25points是给暴力的，$O(NlogM)$就可以拿到。

然后看出下面的数据要分两种做法——一种针对m较大但是p较小的，一种针对m较小但是p很大的。

m较大，p较小

发现$i^{m}$这一项，在$mod p$意义下有很有意思的性质——$i^{m}=(i mod p)^{m}$。

哎，那岂不是至多每p项$i^{m}$就会出现一个循环吗？而每个循环节之间又是$(m^{2}-3m+3)^{p}$的等比关系（在此默认循环节长度为p），那就暴力求出第一段和公比，就是等比数列求和。蛋疼的是p不一定是素数，所以想用等比公式是不行的，因为没有逆元。然后就可以倍增法或矩阵快速幂。（小生一开始写的倍增，结果越写越乱，最后还是用矩阵幂省心）

m较小，p较大

还是想法搞掉$i^{m}$这一项。发现$i^{m}=[(i-1)+1]^{m}$，然后可以二项式一下就可以搞成DP形式了，$f[i][j]=i^{j}(m^{2}-3m+3)^{i-1}$，f[i]可以从f[i-1]推出来，构造转移矩阵，跑矩阵快速幂并维护前缀和即可。

#include <cstdio>
#include <cstring>

typedef long long lnt;

int n, m, p;

inline int pow(lnt a, int b)
{
lnt r = 1;

while (b)
{
if (b & 1)
r = r * a % p;

b = b >> 1;
a = a * a % p;
}

return r;
}

namespace case1
{    // m <= 200
int lim;
int ans;

int C[205][205];

inline void calculateC(void)
{
for (int i = 0; i <= lim; ++i)
{
C[i][0] = 1;

for (int j = 1, k = 2; j <= i; j += 2, k += 2)
{
C[i][j] = C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j];
C[i][k] = C[i - 1][k - 1] + C[i - 1][k];

if (C[i][j] >= p)C[i][j] -= p;
if (C[i][k] >= p)C[i][k] -= p;
}
}
}

int M[205][205];

inline void calculateM(void)
{
int bas = (m * m - 3*m + 3) % p;

for (int i = 0; i <= m; ++i)
for (int j = i; j <= m; ++j)
M[i][j] = 1LL * bas * C[j][i] % p;

M[m][lim] = M[lim][lim] = 1;
}

int R[205];

inline void calculateR(void)
{
for (int i = 0; i <= m; ++i)R[i] = 1;

for (int t = n; t; t >>= 1)
{
if (t & 1)
{
static int T[205];

memset(T, 0, sizeof T);

for (int i = 0; i <= lim; ++i)
for (int j = 0; j <= lim; ++j)
T[j] = (T[j] + 1LL * R[i] * M[i][j]) % p;

memcpy(R, T, sizeof R);
}

{
static int T[205][205];

memset(T, 0, sizeof T);

for (int i = 0; i <= lim; ++i)
for (int k = 0; k <= lim; ++k)if (M[i][k])
for (int j = 0; j <= lim; ++j)if (M[k][j])
T[i][j] = (T[i][j] + 1LL * M[i][k] * M[k][j]) % p;

memcpy(M, T, sizeof M);
}
}
}

inline void main(void)
{
lim = m + 1;

calculateC();
calculateM();
calculateR();

ans = R[lim];

ans = (1LL * ans * pow(2, m)) % p;
ans = (1LL * ans * (m*m - m)) % p;

printf("%d\n", (ans + p) % p);
}
}

namespace case2
{    // p <= 3000
int bas;
int cnt;
int ans;

int C[2];

inline void calculateC(void)
{
bas = (m * m - 3*m + 3) % p;

for (int i = 1, t = 1; i <= p; ++i, t = t * bas % p)
C[0] = (C[0] + pow(i, m) * t) % p;
}

int M[2][2];

inline void calculateM(void)
{
M[0][0] = pow(bas, p);
M[0][1] = 1;
M[1][1] = 1;
M[1][0] = 0;
}

int R[2][2];

inline void calculateR(void)
{
memcpy(R, C, sizeof C);

for (int t = cnt; t; t >>= 1)
{
if (t & 1)
{
static int T[2][2];

memset(T, 0, sizeof T);

for (int i = 0; i < 2; ++i)
for (int k = 0; k < 2; ++k)if (R[i][k])
for (int j = 0; j < 2; ++j)if (M[k][j])
T[i][j] = (T[i][j] + R[i][k] * M[k][j]) % p;

memcpy(R, T, sizeof R);
}

{
static int T[2][2];

memset(T, 0, sizeof T);

for (int i = 0; i < 2; ++i)
for (int k = 0; k < 2; ++k)if (M[i][k])
for (int j = 0; j < 2; ++j)if (M[k][j])
T[i][j] = (T[i][j] + M[i][k] * M[k][j]) % p;

memcpy(M, T, sizeof M);
}
}
}

inline void main(void)
{
cnt = n / p;

calculateC();
calculateM();
calculateR();

ans = R[0][1];

for (int i = cnt * p + 1; i <= n; ++i)
ans = (ans + pow(i % p, m) * pow(bas, i - 1)) % p;

ans = (1LL * ans * pow(2, m)) % p;
ans = (1LL * ans * (m*m - m)) % p;

printf("%d\n", (ans + p) % p);
}
}

signed main(void)
{
scanf("%d%d%d", &n, &m, &p);

if (m <= 200)
case1::main();
else
case2::main();
}

@Author: YouSiki