数学推导——ACdream 1067

题目链接： http://acdream.info/problem?pid=1067

题意： 在圆上取N个点，以至将圆弧分成N等份，求任取3个点能构成多少个锐角三角形

分析： 当3个点组成锐角三角形ABC时，圆心O一定在三角形内部，∠AOB , ∠BOC, ∠COA一定小于180度（∠AOB + ∠BOC + ∠COA = 360度）

（1）当N为偶数时，用1, 2 …. k , k+1, …. , 2k来标记N个点(2K = N). 固定一个点, 如点A = 点k， 那么2k点是肯定不能选的了，因为 k, 2k组成一条直径。

所以剩下两个区间 [1， k-1], [K+1, 2k-1].如果点B， 点C同处一个区间，那么ABC一定是一个钝角三角形，所以B，C一定不可处于同一区间。

设点B = 点x， x 属于[1, k-2]; 点C=点y，y 属于[k+1, 2k-1];

在这样的情况下，y - x > k 才能使得ABC为锐角三角形 ==> (x, y)的取值有S = 0 + 1 + 2 + … + (k - 2) = (k -1) * (k -2) /2 = (N/2 - 1) * (N / 2 - 2) / 2 ;

有N个点，每个三角形被重复计算3次，所以一共有 S * N / 3种；

（2）点N为奇数时， k = N / 2. 用0, 1 … k , k + 1, 2k.

固定点A = 点0，则过点A的直径把N个点分成[1, k], [k+1, 2k]两个部分。和(1)同理，可以令 点B = 点x , x 属于[1, k], 点C = 点y， y 属于[k+1, 2k];

AC代码：

/*************************************************************************
> File Name: test.cpp
> Author: Akira
> Mail: qaq.febr2.qaq@gmail.com
************************************************************************/

#include <iostream>
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#include <cstdlib>
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#include <list>
#include <ctime>
#include <climits>
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef long double LD;
#define MST(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define CLR(a) MST(a,0)
#define Sqr(a) ((a)*(a))
using namespace std;

#define MaxN 100000
#define MaxM MaxN*10
#define INF 0x3f3f3f3f
#define bug cout<<88888888<<endl;
#define MIN(x,y) (x<y?x:y)
#define MAX(x,y) (x>y?x:y)

template<typename _> inline void scan(_& t)
{
int c;
while((c = getchar()) < '0' || c > '9');
t = c - '0';
while((c = getchar()) >= '0' && c <= '9') t = t * 10 + c - '0';
}
template<typename _> inline void print(_ x)
{
int len = 0, p[20];
if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
while(x) p[++len] = x % 10, x /= 10;
if(!len) p[++len] = 0;
while(len) putchar(p[len--] + '0');
}
/*
3 1
4 0
5 5
6 0
7 7
8 8
9 9
10
n奇数：n*(n/2)*(n/2+1)/6；
n偶数：n*(n/2-1)*(n/2-2)/6；
*/

LL N;
int main()
{
while(~scanf("%lld", &N))
{
LL ans;
if(N&1)
{
ans = N*(N/2)*(N/2+1)/6;
}
else
{
ans = N*(N/2-1)*(N/2-2)/6;
}
printf("%lld\n", ans);
}
//system("pause");
}