《算法导论》学习笔记——求解时间复杂度

求解时间复杂度

主要有三种方法：代入法、递归树法、主方法

代入法：

根据解的形式进行猜测，然后证明。

例子：

T(n)=2T(n/2)+Θ(n)

猜测T(n)=Ο(nlgn)

T(n)=2T(n/2)+Θ(n)<2c(n/2)lg(n/2)+dn=cnlgn-cnlg2+dn

证明完毕，只要我们选择合适的c与合适的d使得dn-cnlg2<0即可。

递归树求解法：

画出递归树，并计算递归树的高度以及每一层递归树中的代价，再相加。

例子：

T(n)=2T(n/2)+Θ(n)



n变成1一共经历了log2n层。每一层的代价总和是cn，所以是nlgn。

主方法求解：

形如T(n)=aT(n/b)+f(n)的递归式一般可以使用主方法进行求解。

首先计算logba=k,计算nk

将nk与f(n)进行比较。较大的决定了递归式的解。

若f(n)较大，则T(n)=Θ(f(n))

若nk较大，则T(n)=Θ(nk)

若相同，则T(n)=Θ(f(n)lgn)

这里的较大较小指的是多项式意义上的大小。

f(x)多项式大于g(x):

存在实数e>0,使得f(x)>g(x)*n^e

f(x)多项式小于g(x):

存在实数e>0,使得f(x)