题目描述：

给定一个平面图，求最小割。

题解：

本题是一道经典题.
周冬Orz的论文是很好的研究资料。
这道题点太多，所以直接跑dinic无疑会超时。
我们观察原图，发现原图是一个平面图。
什么是平面图呢？平面图就是可以画在平面上，边没有交错的图。
平面图有几个很吼的性质：

1. 欧拉定理（欧拉的定理真多。。):如果平面图把平面分为f个面，有n个点，m条边，那么我们有：
   \[f = m - n + 2\]
2. 任何一个平面图的对偶图还是一个平面图。

这里的对偶图指的是把原图中的面当作点，边还是边进行构图得到的图。
我们很容易发现，对偶图中的一个环就是原图的一个最小割。
但是，显然我们求环还是比较麻烦的。
我们考察原图性质，
如果在st中间连一条新边，显然新图还是平面图，同时会比原图多出一个面，我们称之为副面，
对于这个新图，我们构对偶图，同时令副面和最大的面一个为起点，一个为终点，显然对偶图中的最短路就是原图的一个最小割。
然后spfa解决就好辣。
本题最恶心的点在于建对偶图。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = (1000 * 1000 + 50) * 2;
int n, m, nm, s, t;
int dist[maxn];
struct edge {
int to, weigh;
};
vector<edge> G[maxn];
void add_edge(int from, int to, int weigh) {
G[from].push_back((edge){to, weigh});
G[to].push_back((edge){from, weigh});
}
void spfa() {
queue<int> q;
memset(dist, 127, sizeof(dist));
dist[s] = 0;
q.push(s);
int inq[maxn];
memset(inq, 0, sizeof(inq));
inq[s] = 1;
while (!q.empty()) {
int u = q.front();
q.pop();
inq[u] = 0;
for (int i = 0; i < G[u].size(); i++) {
edge &e = G[u][i];
if (dist[e.to] > dist[u] + e.weigh) {
dist[e.to] = dist[u] + e.weigh;
if (inq[e.to] == 0) {
q.push(e.to);
inq[e.to] = 1;
}
}
}
}
}
int main() {
scanf("%d%d", &n, &m);
nm = (n * m - m - n + 1) << 1;
s = 0, t = nm + 1;
//横向边
int x;
for (int j = 1; j < m; j++) {
scanf("%d", &x);
add_edge(j, t, x);
}
for (int i = 1; i < (n - 1); i++) {
for (int j = 1; j < m; j++) {
scanf("%d", &x);
add_edge((i << 1) * (m - 1) + j, ((i << 1) - 1) * (m - 1) + j, x);
}
}
for (int j = 1; j < m; j++) {
scanf("%d", &x);
add_edge(((n << 1) - 3) * (m - 1) + j, 0, x);
}
//纵向边
for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
scanf("%d", &x);
if (j == 1)
add_edge(0, (i << 1) * (m - 1) + m, x);
else if (j == m)
add_edge((i << 1 | 1) * (m - 1), t, x);
else
add_edge((i << 1) * (m - 1) + j - 1, (i << 1) * (m - 1) + j + m - 1, x);
}
}
//斜
for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
for (int j = 1; j < m; j++) {
scanf("%d", &x);
add_edge((i << 1 | 1) * (m - 1) + j, (i << 1) * (m - 1) + j, x);
}
}
spfa();
printf("%d", dist[t]);
}