数据结构之二叉树(遍历、建立、深度)

数据结构之二叉树(遍历、建立、深度)

1、二叉树的深度遍历

二叉树的遍历是指从根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树的所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。

对于二叉树的深度遍历，有前序遍历二叉树、中序遍历二叉树、后序遍历二叉树三种形式，下面分别进行学习和介绍。

1.1 二叉树的前序遍历

1）前序递归遍历

规则是若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树。如下图所示，遍历的顺序为ABDGHCEIF。



前序递归遍历的代码实现，如下所示。

2）前序非递归遍历

根据前序遍历访问的顺序，优先访问根结点，然后再分别访问左孩子和右孩子。即对任一结点，其可看做是根结点，因此可以直接访问，访问完之后，若其左孩子不为空，按相同的规则访问它的左子树；当访问其左子树时，再访问它的右子树，因此其处理过程如下：

对于任一结点p：

a. 访问结点p，并将结点p入栈；

b. 判断结点p的左孩子是否为空，若为空，则取栈顶结点并进行出栈操作，并将栈顶结点的右孩子置为当前的结点p，循环置a；若不为空，则将p的左孩子置为当前结点p；

c. 直到p为空，并且栈为空，则遍历结束。

前序非递归遍历代码实现，如下所示。

1.2 中序遍历二叉树

1）中序递归遍历

规则是若树为空，则空操作返回，否则从根结点开始（注意这里并不是先访问根结点），中序遍历根结点的左子树，然后是访问根结点，最后中序遍历右子树。如下图所示，遍历的顺序为：GDHBAEICF。



中序递归遍历代码实现如下所示。

2）中序非递归遍历

根据中序遍历的顺序，对于任一结点，优先访问其左孩子，而左孩子结点又可以看做一个根结点，然后继续访问其左孩子结点，直到遇到左孩子结点为空的结点才停止访问，然后按相同的规则访问其右子树。其处理过程如下：

对于任一结点：

a. 若其左孩子不为空，则将p入栈，并将p的左孩子设置为当前的p，然后对当前结点再进行相同的操作；

b. 若其左孩子为空，则取栈顶元素并进行出栈操作，访问该栈顶结点，然后将当前的p置为栈顶结点的右孩子；

c. 直到p为空并且栈为空，则遍历结束。

中序非递归遍历代码实现如下所示。

1.3 后序遍历二叉树

1）后序递归遍历

规则是若树为空，则空操作返回，否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后是访问根结点。遍历的顺序为：GHDBIEFCA。



后序递归遍历代码实现，如下所示。

2）后序非递归遍历

后序遍历的非递归实现是三种遍历方式中最难的一种。因为在后序遍历中，要保证左孩子和右孩子都已被访问，并且左孩子在右孩子之前访问才能访问根结点，这就为流程控制带来了难题。下面介绍一种思路。

要保证根结点在左孩子和右孩子访问之后才能访问，因此对于任一结点p，先将其入栈。若p不存在左孩子和右孩子，则可以直接访问它，或者p存在左孩子或右孩子，但是其左孩子和右孩子都已经被访问过了，则同样可以直接访问该结点。若非上述两种情况，则将p的右孩子和左孩子依次入栈，这样就保证了每次取栈顶元素的时候，左孩子在右孩子之前别访问，左孩子和右孩子都在根结点前面被访问。

后序非递归遍历代码实现，如下所示。

2、二叉树的广度遍历

广度遍历二叉树（即层次遍历）是用队列来实现的，从二叉树的第一层（根结点）开始，自上而下逐层遍历；在同一层中，按照从左到右的顺序对结点逐一访问。如下图所示，遍历的顺序为：ABCDEFGHI。



按照从根结点到叶结点、从左子树到右子树的次序访问二叉树的结点，具体思路如下：

A. 初始化一个队列，并把根结点入队列；

B. 当队列为非空时，循环执行步骤3到步骤5，否则执行步骤6；

C. 出队列取得一个结点，访问该结点；

D. 若该结点的左子树为非空，则将该结点的左子树入队列；

E. 若该结点的右子树为非空，则将该结点的右子树入队列；

F. 结束。

广度遍历二叉树代码实现，如下所示。

3、二叉树的建立

如果要在内存中建立一个如下左图这样的树，wield能让每个结点确认是否有左右孩子，我们对它进行扩展，变成如下右图的样子，也就是将二叉树中的每个结点的空指针引出一个虚结点，其值为一个特定值，比如”#”，称之为扩展二叉树。扩展二叉树就可以做到一个遍历序列确定一棵二叉树了。如前序遍历序列为AB#D##C##。



有了这样的准备，就可以看看如何生成一棵二叉树了。假设二叉树的结点均为一个字符，把刚才前序遍历序列AB#D##C##用键盘挨个输入，实现的算法如下所示。

二叉树建立实现代码一，如下所示。

二叉树建立实现代码二，如下所示。

其实建立二叉树，也是利用了递归的原理。只不过在原来应该打印结点的地方，改成生成结点、给结点赋值的操作而已。因此，完全可以用中序或后序遍历的方式实现二叉树的建立，只不过代码里生成结点和构造左右子树的代码顺序交互一下即可。

4、二叉树的深度

树中结点的最大层次称为树的深度。对于二叉树，求解树的深度用以下两种方法实现。即非递归和递归的方法实现。

递归求解二叉树的深度实现代码，如下所示。

对于非递归求解二叉树的深度，这里采用了层次遍历的原理，通过层次遍历，找到二叉树的最后一个结点。然后，根据该结点，寻找其双亲结点，即找到其上一层，此时深度dept加1，依次进行，直到根结点为止。

非递归求解二叉树深度的实现，如下所示。

5、参考引用

1）《大话数据结构》

2）严蔚敏老师之《数据结构》

3）http://www.cnblogs.com/dolphin0520/archive/2011/08/25/2153720.html

4）http://blog.chinaunix.net/uid-20788636-id-1841329.html

5）www.google.com

对于帮助我理解二叉树的各位，非常感谢。