完全背包问题讲解(dp)
2017-02-14 14:42
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此题之前先分析两种常见的背包问题,01背包与完全背包
01背包:在M件物品中取出若干件物品放到背包中,每件物品对应的体积v1,v2,v3,....对应的价值为w1,w2,w3,,,,,每件物品之多拿一件。
解决方案
考虑用动态规划的方法来解决,这里的:
阶段是:在前N件物品中,选取若干件物品放入背包中; 状态是:在前N件物品中,选取若干件物品放入所剩空间为W的背包中的所能获得的最大价值;
决策是:第N件物品放或者不放;
由此可以写出动态转移方程:
我们用f[i,j]表示在前 i 件物品中选择若干件放在所剩空间为 j 的背包里所能获得的最大价值
f[i,j]=max{f[i-1,j-Wi]+Pi (j>=Wi), f[i-1,j]} <1>
这个方程非常重要,基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下:“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题,若只考虑第i件物品的策略(放或不放),那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”,价值为f[v];如果放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c的背包中”,此时能获得的最大价值就是f[v-c]再加上通过放入第i件物品获得的价值w。
可优化成一维数组的表达式
for(i=1;i<=m;++i) <2>
for(v=V;v>=0;v--)
if(v>=c[i])
f[v]=max{f[v],f[v-c]+w};
这里一定要注意次序,如果第二个for循环依次增大,则不能与<1>等价,因为f[v],f[v-c]的值不是类似于f[i-1][v],f[i-1][v-c],不信自己可以举例试试,比如2个物品,体积为2,4;价值为1,3;如果顺序,定会出现错误。
最优解法—O(VN)
for i=1..N
for j=0..V
f[j]=max{f[j],f[j-c]+w}
你会发现,这个伪代码与01背包的伪代码只有v的循环次序不同而已。为什么这样一改就可行呢?
首先想想为什么01背包中要按照v=V..0的逆序来循环。这是因为要保证第i次循环中的状态f[v]是由状态f[v-c]递推而来。换句话说,这正是为了保证每件物品只选一次,保证在考虑“选入第i件物品”这件策略时,依据的是一个没有已经选入第i件物品的子结果f[v-c]。
而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件,所以在考虑“加选一件第i种物品”这种策略时,却正需要一个可能已选入第i种物品的子结果f[v-c],所以就可以并且必须采用v=0..V的顺序循环。这就是这个简单的程序为何成立的道理。
这个算法也可以以另外的思路得出。例如,基本思路中的状态转移方程可以等价地变形成这种形式:
f[j]=max{f[j],f[j-c]+w}
将这个方程用一维数组实现,便得到了上面的伪代码。
最后抽象出处理一件完全背包类物品的过程伪代码,以后会用到:
procedure CompletePack(c,w)
for j=c..V
f[j]=max{f[j],f[j-c]+w}
总结
完全背包问题也是一个相当基础的背包问题,它有两个状态转移方程,分别在“基本思路”以及“最优解法—O(VN)”的小节中给出。希望你能够对这两个状态转移方程都仔细地体会,不仅记住,也要弄明白它们是怎么得出来的,最好能够自己想一种得到这些方程的方法。
事实上,对每一道动态规划题目都思考其方程的意义以及如何得来,是加深对动态规划的理解、提高动态规划功力
acbc
的好方法。希望在你看完这篇文字后,会有所启发。
完全背包:
有N种物品和一个容量为V的背包,每种物品都有无限件可用。
第i种物品的体积是c,价值是w。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的体积总和不超过背包容量,且价值总和最大。这里不同之处是每件物品可无限取,这里就产生了很多可行的优化,比如同体积的有多种物品,则必然可以舍弃价值小的,也可以舍弃体积大于v的。
基于以上理解在来解决这道题。
直接说题意,完全背包定义有N种物品和一个容量为V的背包,每种物品都有无限件可用。第i种物品的体积是c,价值是w。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的体积总和不超过背包容量,且价值总和最大。本题要求是背包恰好装满背包时,求出最大价值总和是多少。如果不能恰好装满背包,输出NO
输入 第一行: N 表示有多少组测试数据(N<7)。
接下来每组测试数据的第一行有两个整数M,V。 M表示物品种类的数目,V表示背包的总容量。(0<M<=2000,0<V<=50000)
接下来的M行每行有两个整数c,w分别表示每种物品的重量和价值(0<c<100000,0<w<100000) 输出 对应每组测试数据输出结果(如果能恰好装满背包,输出装满背包时背包内物品的最大价值总和。 如果不能恰好装满背包,输出NO) 样例输入
样例输出 NO 1
这里唯一不同的是背包如果不能完全装满,则输出NO,这里需要一个技巧,就是初始化时f[0],其余的均为-max,只有这样最大值为正时,只能通过f[0]在相加其他价值得到,如背包体积为4时, 一种物品体积2,价值2; 则 f[0]=0; f[1]=-max; f[2]=max(f[2],f[0]+w[i])=2; 注意若背包不需要全部装满时,f[3]本该为2的,但此时f[3]=max(f[3],f[1]+2)=max(f[3],2-max)=2-max; 负无穷这样应该明白了吧~
AC代码:
01背包:在M件物品中取出若干件物品放到背包中,每件物品对应的体积v1,v2,v3,....对应的价值为w1,w2,w3,,,,,每件物品之多拿一件。
解决方案
考虑用动态规划的方法来解决,这里的:
阶段是:在前N件物品中,选取若干件物品放入背包中; 状态是:在前N件物品中,选取若干件物品放入所剩空间为W的背包中的所能获得的最大价值;
决策是:第N件物品放或者不放;
由此可以写出动态转移方程:
我们用f[i,j]表示在前 i 件物品中选择若干件放在所剩空间为 j 的背包里所能获得的最大价值
f[i,j]=max{f[i-1,j-Wi]+Pi (j>=Wi), f[i-1,j]} <1>
这个方程非常重要,基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下:“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题,若只考虑第i件物品的策略(放或不放),那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”,价值为f[v];如果放第i件物品,那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c的背包中”,此时能获得的最大价值就是f[v-c]再加上通过放入第i件物品获得的价值w。
可优化成一维数组的表达式
for(i=1;i<=m;++i) <2>
for(v=V;v>=0;v--)
if(v>=c[i])
f[v]=max{f[v],f[v-c]+w};
这里一定要注意次序,如果第二个for循环依次增大,则不能与<1>等价,因为f[v],f[v-c]的值不是类似于f[i-1][v],f[i-1][v-c],不信自己可以举例试试,比如2个物品,体积为2,4;价值为1,3;如果顺序,定会出现错误。
最优解法—O(VN)
for i=1..N
for j=0..V
f[j]=max{f[j],f[j-c]+w}
你会发现,这个伪代码与01背包的伪代码只有v的循环次序不同而已。为什么这样一改就可行呢?
首先想想为什么01背包中要按照v=V..0的逆序来循环。这是因为要保证第i次循环中的状态f[v]是由状态f[v-c]递推而来。换句话说,这正是为了保证每件物品只选一次,保证在考虑“选入第i件物品”这件策略时,依据的是一个没有已经选入第i件物品的子结果f[v-c]。
而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件,所以在考虑“加选一件第i种物品”这种策略时,却正需要一个可能已选入第i种物品的子结果f[v-c],所以就可以并且必须采用v=0..V的顺序循环。这就是这个简单的程序为何成立的道理。
这个算法也可以以另外的思路得出。例如,基本思路中的状态转移方程可以等价地变形成这种形式:
f[j]=max{f[j],f[j-c]+w}
将这个方程用一维数组实现,便得到了上面的伪代码。
最后抽象出处理一件完全背包类物品的过程伪代码,以后会用到:
procedure CompletePack(c,w)
for j=c..V
f[j]=max{f[j],f[j-c]+w}
总结
完全背包问题也是一个相当基础的背包问题,它有两个状态转移方程,分别在“基本思路”以及“最优解法—O(VN)”的小节中给出。希望你能够对这两个状态转移方程都仔细地体会,不仅记住,也要弄明白它们是怎么得出来的,最好能够自己想一种得到这些方程的方法。
事实上,对每一道动态规划题目都思考其方程的意义以及如何得来,是加深对动态规划的理解、提高动态规划功力
acbc
的好方法。希望在你看完这篇文字后,会有所启发。
完全背包:
有N种物品和一个容量为V的背包,每种物品都有无限件可用。
第i种物品的体积是c,价值是w。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的体积总和不超过背包容量,且价值总和最大。这里不同之处是每件物品可无限取,这里就产生了很多可行的优化,比如同体积的有多种物品,则必然可以舍弃价值小的,也可以舍弃体积大于v的。
基于以上理解在来解决这道题。
直接说题意,完全背包定义有N种物品和一个容量为V的背包,每种物品都有无限件可用。第i种物品的体积是c,价值是w。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的体积总和不超过背包容量,且价值总和最大。本题要求是背包恰好装满背包时,求出最大价值总和是多少。如果不能恰好装满背包,输出NO
输入 第一行: N 表示有多少组测试数据(N<7)。
接下来每组测试数据的第一行有两个整数M,V。 M表示物品种类的数目,V表示背包的总容量。(0<M<=2000,0<V<=50000)
接下来的M行每行有两个整数c,w分别表示每种物品的重量和价值(0<c<100000,0<w<100000) 输出 对应每组测试数据输出结果(如果能恰好装满背包,输出装满背包时背包内物品的最大价值总和。 如果不能恰好装满背包,输出NO) 样例输入
2 1 5 2 2 2 5 2 2 5 1
样例输出 NO 1
这里唯一不同的是背包如果不能完全装满,则输出NO,这里需要一个技巧,就是初始化时f[0],其余的均为-max,只有这样最大值为正时,只能通过f[0]在相加其他价值得到,如背包体积为4时, 一种物品体积2,价值2; 则 f[0]=0; f[1]=-max; f[2]=max(f[2],f[0]+w[i])=2; 注意若背包不需要全部装满时,f[3]本该为2的,但此时f[3]=max(f[3],f[1]+2)=max(f[3],2-max)=2-max; 负无穷这样应该明白了吧~
AC代码:
#include<iostream> #include<stdio.h> #include<string> #include<cstring> using namespace std; int f[50010], c[2010], w[2010]; int main() { int test, m, v, i, j; scanf("%d", &test); while (test--) { memset(f, -10000000, sizeof(f)); //用来判断背包是否装满 f[0] = 0; scanf("%d%d", &m, &v); for (i = 1; i <= m; ++i) scanf("%d%d", &c[i], &w[i]); for (i = 1; i <= m; ++i) for (j = 0; j <= v; ++j)//注意此循环与01背包的用一维数组表示的状态方程的区别,一个循环逆序,一个顺序 if (j >= c[i]) f[j] = f[j]>(f[j - c[i]] + w[i]) ? f[j] : f[j - c[i]] + w[i];//完全背包的状态方程,可画图加深理解 if (f[v]<0)//背包为装满 printf("NO\n"); else printf("%d\n", f[v]); } }
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