数字三角形(动态规划)poj1163
2017-02-12 18:11
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问题描述
有一个由非负整数组成的三角形,第一行只有一个数,除了最下行之外每个数的左下方和右下方各有一个数,从第一行的数开始,每次可以往左下和右下走一格,直到走到最下行,把沿途经过的数全部加起来,如何才能使这个和最大??状态转移方程由来的分析
需要用抽象的方法思考问题:把当前的位置(i,j)看成一个状态,然后定义状态(i,j)的指标函数d(i,j)为从格子(i,j)出发时能得到的最大和(包括(i,j)本身的值)。在这个状态定义下,原问题的解为d(1,1).从格子(i,j)出发有两种决策,往左下走或者往右下走,应选择d(i+1,j),d(i+1,j+1)中较大的那一个,即
d(i,j)=(i,j)+max{d(i+1,j),d(i+1,j+1)}
记忆化搜索与递推
!!注意边界处理:即i=n时记忆化搜索
虽然不像递推法那样显示的指明了计算顺序,但可保证每个节点只访问一次,时间复杂度为o(n^2)首先用“menset(d,-1,sizeof(d));”把d全部初始化为-1,然后编写递归函数
<php> int solve(int i,int j) {if(d[i][j]!=-1) return d[i][j]; return d[i][j]=a[i][j]+(i==n?0:max(solve(i+1,j),solve(i+1,j+1))); }
上述程序依然是递归的,但同时也把计算结果保存在数组d中。题目中说各个数都是非负的,只需把所有d初始化为-1,即可通过判断得知它是否已经被计算过。
递推计算
可以用递推法计算状态转移方程。递推的关键是边界和计算顺序。在多数情况下,地推的时间复杂度是状态总数每个状态的决策个数决策时间时间复杂度同记忆化搜索
int i,j; for(j=1;j<=n;j++) d [j]=a [j]; for(i=n-1;i>=1;i--) for(j=1;j<=i;j++) d[i][j]=a[i][j]+max(d[i+1][j],d[i+1][j+1]);
可以这样计算的原因是 i是逆序枚举的,因此在计算d[i][j]前,它所需要的d[i+1][j]和d[i+1][j+1]一定已经计算出来了。
OK来看典型例题
简单点直接贴代码#include<cstdio> #include<iostream> #include<algorithm> int dp[105][105]; int n; using namespace std; int main() {int i,j; while(scanf("%d",&n)!=EOF) {for(i=1;i<=n;i++) {for( j=1;j<=i;j++) {scanf("%d",&dp[i][j]);} } int DP(); printf("%d\n",DP()); } return 0; } int DP() { int i,j; for(int i=n-1;i>=1;i--) { for(j=1;j<=i;j++) { dp[i][j]+=max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1]); } } return dp[1][1]; }
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