状压DP——hihoCoder 1044

题目链接：https://hihocoder.com/problemset/problem/1044

题意：给出一个数组A，长度为N，表示每个位置i含有A[i]数量的垃圾，求选取一些位置，在满足连续M个位置中被选中的位置不超过Q个的条件下使得这些被选中的位置对应的垃圾数量的总和最大，输出这个最大数量

分析：我们很容易得出一个转移方程：DP[i]→DP[i+1] 表示前i个位置中满足条件的最大垃圾数量 推出 前 i+1 个位置中满足条件的最大垃圾数量。但是我们推的过程中，需要得知前一个状态的信息：比如第 i−M+1 是否被选中，以及区间 [i−M+1,i] 中一共被选中了多少个位置，才能推出下一个状态。

状态表示：我们可以用一个长度为M的二进制串1010101..表示一个区间M的位置选取情况，其中1表示选取，0表示未选。然后我们可以预处理用一个数组B(下标为二进制串对应的十进制数j)来存取每一个二进制数含有多少个1方便之后查询每一个区间M内选取的1的个数。

状态转移：

if(B[j] > Q) DP[i][j] = DP[i][j+1] = 0
else if(B[j] == Q) DP[i][j] = j>>1再前面补0或者1 的情况下符合少于Q的状态里最大的垃圾数量
DP[i][j+1] = 0
else DP[i][j] = j>>1再前面补0或者1 的情况下符合少于Q的状态里最大的垃圾数量
DP[i][j+1] = j>>1再前面补0或者1 的情况下符合少于Q的状态里最大的垃圾数量 + A[i]

AC代码：

/*************************************************************************
> File Name: test.cpp
> Author: Akira
> Mail: qaq.febr2.qaq@gmail.com
************************************************************************/

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <set>
#include <list>
#include <ctime>
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef long double LD;
#define MST(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define CLR(a) MST(a,0)
#define Sqr(a) ((a)*(a))
using namespace std;

#define MaxN 100000
#define MaxM MaxN*10
#define INF 0x3f3f3f3f
#define bug cout<<88888888<<endl;
#define MIN(x,y) (x<y?x:y)
#define MAX(x,y) (x>y?x:y)
// 快速读入输出
template<typename _> inline void scan(_& t)
{
int c;
while((c = getchar()) < '0' || c > '9');
t = c - '0';
while((c = getchar()) >= '0' && c <= '9') t = t * 10 + c - '0';
}
template<typename _> inline void print(_ x)
{
int len = 0, p[20];
if(x < 0) putchar('-'), x = -x;
while(x) p[++len] = x % 10, x /= 10;
if(!len) p[++len] = 0;
while(len) putchar(p[len--] + '0');
}

int N,M,Q;
int A[MaxN];
int DP[2][1<<10];
int num[1<<10];

int get(int pos, int flag)
{
int v = pos>>1;
if(num[v]<Q)
return MAX(DP[flag][v+(1<<(M-1))], DP[flag][v]);
if(num[v]==Q)
return DP[flag][v];
}
int cal(int x)
{
int ans = 0;
while(x)
{
if(x&1) ans+=1;
x>>=1;
}
return ans;
}
void solve()
{
int len = 1<<M;
for(int i=0;i<len;i++) num[i] = cal(i);

int flag = 0;
for(int i=0;i<N;i++)
{
for(int j=0;j<len;j+=2)
{
if(num[j]>Q)
{
DP[flag][j] = DP[flag][j+1] = 0;
continue;
}
else if(num[j] == Q)
{
DP[flag][j] = get(j, flag^1);
DP[flag][j+1] = 0;
continue;
}
else
{
DP[flag][j] = DP[flag][j+1] = get(j, flag^1);
DP[flag][j+1] += A[i];
}
}
flag^=1;
}
int ans = 0;
for(int i=0;i<len;i++) ans = MAX(ans, DP[flag^1][i]);
print(ans);
cout << endl;
}

int main()
{
scan(N);
scan(M);
scan(Q);
for(int i=0;i<N;i++) scan(A[i]);
solve();
//system("pause");
}