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矩阵的乘法

2017-02-12 14:14 176 查看

小明今天要做饭，消耗2斤肉，1斤蔬菜。肉每斤20元，蔬菜每斤5元，则一共需多少花费？
这个问题的答案很简单：

我们用向量相乘的方法写出来：

如果小明第二天有另一种做饭的方法，需要消耗1斤肉，4斤蔬菜，那么这两种方法的花费各是多少呢？我们显然需要另算这第二种方法的花费。把这个做饭方式写在第二个矩阵（向量是宽度或长度为1的矩阵）里：

小明家附近还有另一个菜市场，那里肉每斤15元，蔬菜每斤10元。那么，小明如果去这个菜市场，花费又是多少呢（分别计算上述两种做饭方式）？我们把这另外的一种价格写进第一个矩阵里：

这样我们看到了一个矩阵乘法的例子。在左边的这个矩阵的每一行，都代表了一种价目表；在右边的矩阵的每一列，都代表了一种做饭方式。那么所有可能的组合所最终产生的花费，则在结果矩阵中表示出来了。

小明有一天成为了餐厅大厨，小红做掌柜兼管算账。我们假设物价不变。小红发现，如果今天买10斤肉花了A元，明天买20斤肉就得花2A元。如果买一斤肉要花C元，买1斤菜要花D元，那么买一斤肉和一斤菜就要花(C+D)元。每天小明汇报今日的材料消耗之后，小红便会将材料消耗转为需要花的钱数。如果材料消耗翻倍，花的钱数也翻倍。另外，如果去不同的菜市场，也会得到不同的花钱数量。

小明每月送来一张长列表，里面是每日的材料消耗；而经过小红的处理，这张列表会转为每日，在不同的菜市场购买这些材料的花费。材料消耗翻倍，花费也翻倍。我们管这种从材料列表转为开销表的过程，就叫做一个线性映射。这也即是矩阵乘法的意义。

根据wikipedia上的介绍：两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵A的行数和另一个矩阵B的列数相等时才能定义。如A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，它们的乘积AB是一个m×p矩阵，它的一个元素其中 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ p。

设A为的矩阵，B为的矩阵，那么称的矩阵C为矩阵A与B的乘积，记作，其中矩阵C中的第行第列元素可以表示为：

如下所示：

注意事项
当矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，A与B可以相乘。
矩阵C的行数等于矩阵A的行数，C的列数等于B的列数。
乘积C的第m行第n列的元素等于矩阵A的第m行的元素与矩阵B的第n列对应元素乘积之和。
基本性质
乘法结合律： (AB)C=A(BC)．
乘法左分配律：(A+B)C=AC+BC
乘法右分配律：C(A+B)=CA+CB
对数乘的结合性k(AB）=(kA)B=A(kB）．
转置 (AB)T=BTAT．
矩阵乘法一般不满足交换律[3] 。