JZOJ 3366. 【NOI2012】随机数生成器
2017-02-09 20:47
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Description
栋栋最近迷上了随机算法,而随机数生成是随机算法的基础。栋栋准备使用线性同余法(Linear Congruential Method)来生成一个随机数列,这种方法需要设置四个非负整数参数 m, a, c, X0,按照下面的公式生成出一系列随机数:Xn+1=(a∗Xn+c)modm
其中 mod m 表示前面的数除以m的余数。从这个式子可以看出,这个序列的下一个数总是由上一个数生成的。
用这种方法生成的序列具有随机序列的性质,因此这种方法被广泛地使用,包括常用的 C++和 Pascal 的产生随机数的库函数使用的也是这种方法。
栋栋知道这样产生的序列具有良好的随机性,不过心急的他仍然想尽快知道Xn是多少。由于栋栋需要的随机数是0, 1, … ,n−1 之间的,他需要将 Xn 除以g取余得到他想要的数,即 Xn mod g,你只需要告诉栋栋他想要的数Xn mod g是多少就可以了。
Input
输入中包含 6 个用空格分割的整数m, a, c, X0, n和g,其中a, c, X0是非负整数,m, n, g是正整数。Output
输出一个数,即Xn mod gSample Input
11 8 7 1 5 3Sample Output
2Data Constraint
Solution
这题是典型的矩阵乘法!观察题目,目标是将 X0 转移成 Xn 且复杂度必须为 log 级别。
敏锐地考虑矩阵乘法——( Xi−1,c )—》( Xi,c )
那么友矩阵显然就是[a101]
矩阵快速幂转移即可!
还要注意中间有 longlong 相乘取模,需要使用技巧如下来避免高精度
对于两个数 a∗b ,以 109 为分界隔开,相当于变成 (a1∗109+a2)∗(b1∗109+b2)
拆开可得: a1∗b1∗1018+a1∗b2∗109+a2∗b1∗109+a2∗b2
对于 10x ,只需进行 x 次乘 2 乘 5 即可,之后直接相乘取模!
Code
#include<iostream> #include<cstring> using namespace std; typedef long long LL; const LL N=1e9; LL m,n,g; LL a[3],b[3],c[3][3],d[3][3],f[3][3]; LL get(LL x,LL y) { LL a1=x/N,a2=x%N,b1=y/N,b2=y%N; LL t=a1*b1%m,t1=a1*b2%m,t2=a2*b1%m; for(int i=1;i<=18;i++) t=t*2%m*5%m; t=(t+a2*b2%m)%m; for(int i=1;i<=9;i++) t1=t1*2%m*5%m; for(int i=1;i<=9;i++) t2=t2*2%m*5%m; t=(t+t1)%m; t=(t+t2)%m; return t; } void ksm(LL x) { memcpy(f,c,sizeof(f)); while(x) { if(x&1) { memset(d,0,sizeof(d)); for(int i=1;i<=2;i++) for(int j=1;j<=2;j++) for(int k=1;k<=2;k++) d[i][j]=(d[i][j]+get(f[i][k],c[k][j]))%m; memcpy(f,d,sizeof(f)); } memset(d,0,sizeof(d)); for(int i=1;i<=2;i++) for(int j=1;j<=2;j++) for(int k=1;k<=2;k++) d[i][j]=(d[i][j]+get(c[i][k],c[k][j]))%m; memcpy(c,d,sizeof(c)); x>>=1; } } int main() { cin>>m>>c[1][1]>>a[2]>>a[1]>>n>>g; c[2][1]=c[2][2]=1; ksm(n-1); for(int i=1;i<=2;i++) for(int j=1;j<=2;j++) b[i]=(b[i]+get(a[j],f[j][i]))%m; cout<<b[1]%g; return 0; }
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