最大子序列和问题

最大子序列和问题

给定（可能有负的）整数,A1、A2,...,AN,求∑k=ijAk的最大值。（为方便起见，如果所有整数均为负数，则最大子序列和为0）。

第一种算法O(N^3)

public static int maxSubSum1(int a[]){
int maxSum=0;
for(int i=0;i<a.length;i++){
for(int j=i;j<a.length;j++){
int thisSum=0;
for( int k=i;k<j;k++){
thisSum+= a[k];
}
if(thisSum>maxSum)
maxSum=thisSum;
}
}
return maxSum;
}

第二种算法O(N^2)

public static int maxSubSum2(int a[]){
int maxSum=0;
for(int i=0;i<a.length;i++){
int thisSum=0;
for(int j=i;j<a.length;j++){
thisSum +=a[j];
if(thisSum>maxSum)
maxSum = thisSum;
}
}
return maxSum;
}

第三种算法O(N logN),分治法

最大子序列的和可能在三处出现，或者出现在输入数据的左半部，或者出现在输入数据的右半部份，或者出现在输入数据的中间部分。前两种情况可以递归求解，第三种情况的最大和可以通过求出前半部分（包含前半部分最后一个元素）的最大和以及后半部分（包含后半部分第一个元素）的最大和而得到。此时将这两个相加。

public static int maxSumRec(int a[] ,int left,int right){
if(left== right){
if(a[left]>0)
return a[left];
else
return 0;
}

int center = (left+right)/2;
int maxLeftSum = maxSumRec(a,left,center);
int maxRightSum = maxSumRec(a,center+1,right);

int maxLeftBorderSum = 0,leftBorderSum = 0;
for(int i=center;i>=left;i--){
leftBorderSum+= a[i];
if(leftBorderSum > maxLeftBorderSum){
maxLeftBorderSum = leftBorderSum;
}
}

int maxRightBorderSum = 0,rightBorderSum = 0;
for(int i=center+1;i<=right;i++){
rightBorderSum+= a[i];
if(rightBorderSum > maxRightBorderSum){
maxRightBorderSum = rightBorderSum;
}
}

return max3(maxLeftSum,maxRightSum,maxLeftBorderSum+maxRightBorderSum);
}
private static int max3(int a, int b, int c) {
int ab = Math.max(a, b);
return Math.max(c, ab);
}

public static int maxSubSum3(int a[]){
return maxSumRec(a, 0, a.length-1);
}

第四种算法O(N)

这种算法是比较难看出正确性的。可以知道，当a[i]是负的时，那么它不可能作为最有序列的起点，因为任何包含a[i]的作为起点的序列都可以通过用a[i+1]作为起点而得到改进。类似地，任何负的子序列不可能是最优子序列的前缀。如果在循环中检测到从a[i]到a[j]的子序列是负的，那么可以推进i。关键的结论是，我们不仅可以把i推进到i+1, 而且实际上还可以把它一直推进到j+1。为了看清楚这一点，令p为i+1到j之间的任一下标。开始于下标p的任意子序列都不大于在下标i开始并包含从a[i]到a[p-1]的子序列的对应的子序列，因为后面的这个子序列不是负的（j是使得从下标i开始其值成为负值的序列的第一个下标）。因此，把i推进到j+1是没有风险的。

public static int maxSubSum4(int a[]){
int maxSum=0,thisSum=0;
for(int i=0;i<a.length;i++){
thisSum+=a[i];
if(thisSum>maxSum)
maxSum = thisSum;
else if(thisSum<0)
thisSum = 0;
}
return maxSum;
}