平衡二叉树——AVL树的实现

平衡二叉树——AVL树的实现

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数据结构 2013-09-05 10:44
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AVL树平衡二叉树数据结构

AVL树是最先发明的自平衡二叉查找算法，是平衡二叉树的一种。在AVL中任何节点的两个儿子子树的高度最大差别为1，所以它又被成为高度平衡树。查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O(log n)。增加和删除可能需要通过一次或多次树旋转来平衡这棵树。

假设把AVL树构造过程中需要重新平衡的节点叫做α。由于任意节点最多有两个儿子，因此高度不平衡时，α点的两颗子树的高度差2。这种不平衡可能出现在下面这四种情况：

1）  对α的左儿子的左子树进行一次插入（左旋）

其中D是新插入的节点，红色节点K2是失去平衡的节点。需要对K1和K2进行左旋调整即将K1作为根，将K2作为K1的左子树，K1的右子树调整为K2的左子树。如下图所示


进行左旋变换   


代码如下：

[cpp]
view plaincopy

static Position SingleRotateWithLeft(Position K2)  
{  
    Position K1;  
  
    K1 = K2->Left;  
    K2->Left = K1->Right;  
    K1->Right = K2;  
    //更新节点的高度  
    return K1;  
}  

2）对α的左儿子的右子树进行一次插入（左右双旋）

左右双旋这里的左右指的是对α的左儿子的右子树进行插入时需要旋转。先对K1和K2进行右旋（跟第四种情况类似），然后再对K3和K2进行左旋，最终实现平衡。如下图所示


进行一次右旋

进行一次左旋


代码如下：

[cpp]
view plaincopy

static Position DoubleRotateWithLeft(Position K3)  
{  
    K3->Left = SingleRotateWithRight(K3->Left);  
    return SingleRotateWithLeft(K3);  
}  

3）对α的右儿子的左子树进行一次插入（右左双旋）

右左双旋：先对K1和K2进行左旋，然后在对K2和K3进行右旋，最终实现平衡。如下图所示


进行一次左旋

进行一次右旋


代码如下：

[cpp]
view plaincopy

static Position DoubleRotateWithRight(Position K3)  
{  
    K3->Right = SingleRotateWithLeft(K3->Right);  
    return SingleRotateWithRight(K3);  
}  

4）对α的右儿子的右子树进行一次插入（右旋）

将K2的右子树更改为K1的左子树，K1的左子树更改为K2即完成的右旋，如下图所示


进行右旋


代码如下：

[cpp]
view plaincopy

static Position SingleRotateWithRight(Position K2)  
{  
    Position K1;  
  
    K1 = K2->Right;  
    K2->Right = K1->Left;  
    K1->Left = K2;  
    //更新节点高度  
    return K1;  
}  

上面讲述了AVL树四种旋转情况，下面来实现一下AVL树。AVL树的实现跟上一章讲的二叉查找树相似，区别在于在插入和删除节点是需要对树进行调整以满足平衡条件。
avltree.h给出函数声明

[cpp]
view plaincopy

typedef int ElementType;  
  
#ifndef AVLTREE_H  
#define AVLTREE_H  
  
struct TreeNode  
{  
    ElementType Element;  
    int Height;  
    struct TreeNode *Left;  
    struct TreeNode *Right;  
};  
  
typedef struct TreeNode *AvlTree;  
typedef struct TreeNode *Position;  
  
AvlTree MakeEmpty(AvlTree T);  
AvlTree Insert(ElementType X, AvlTree T);  
Position Find(ElementType X ,AvlTree T);  
Position FindMax(AvlTree T);  
Position FindMin(AvlTree T);  
  
#endif  

avltree.c函数实现

[cpp]
view plaincopy

#include "fatal.h"  
#include "avltree.h"  
  
AvlTree MakeEmpty(AvlTree T)  
{  
    if(T != NULL)  
    {  
        MakeEmpty(T->Left);  
        MakeEmpty(T->Right);  
        free(T);  
    }  
    return NULL;  
}  
  
static int Height(Position P)  
{  
    if(P == NULL)  
        return -1;  
    else  
        return P->Height;  
}  
  
static int Max(int Lhs, int Rhs)  
{  
    return Lhs > Rhs ? Lhs : Rhs;  
}  
  
static Position SingleRotateWithLeft(Position K2)  
{  
    Position K1;  
  
    K1 = K2->Left;  
    K2->Left = K1->Right;  
    K1->Right = K2;  
  
    K1->Height = Max(Height(K1->Left), Height(K1->Right)) + 1;  
    K2->Height = Max(Height(K2->Left), Height(K2->Right)) + 1;  
  
    return K1;  
}  
  
static Position SingleRotateWithRight(Position K2)  
{  
    Position K1;  
  
    K1 = K2->Right;  
    K2->Right = K1->Left;  
    K1->Left = K2;  
  
    K1->Height = Max(Height(K1->Left), Height(K1->Right)) + 1;  
    K2->Height = Max(Height(K2->Left), Height(K2->Right)) + 1;  
  
    return K1;  
}  
  
static Position DoubleRotateWithLeft(Position K3)  
{  
    K3->Left = SingleRotateWithRight(K3->Left);  
    return SingleRotateWithLeft(K3);  
}  
  
static Position DoubleRotateWithRight(Position K3)  
{  
    K3->Right = SingleRotateWithLeft(K3->Right);  
    return SingleRotateWithRight(K3);  
}  
  
AvlTree Insert(ElementType X, AvlTree T)  
{  
    if(T == NULL)  
    {  
        T = (Position)malloc(sizeof(struct TreeNode));  
        if(T == NULL)  
            FatalError("Out of space");  
        T->Element = X;  
        T->Height = 0;  
        T->Left = T->Right = NULL;  
    }  
    else if(X < T->Element)//左子树插入新节点  
    {  
        T->Left = Insert(X, T->Left);  
        if(Height(T->Left) - Height(T->Right) == 2)//左子树插入节点所以高度是左子树高于右子树  
        {  
            if(X < T->Left->Element)//对α的左儿子的左子树进行一次插入，需要左旋  
                T = SingleRotateWithLeft(T);  
            else //对α的左儿子的右子树进行一次插入，需要双旋  
                T = DoubleRotateWithLeft(T);  
        }  
    }  
    else if(X > T->Element)//右子树插入新节点  
    {  
        T->Right = Insert(X, T->Right);  
        if(Height(T->Right) - Height(T->Left) == 2)//因为是右子树插入新节点，所以高度是右子树高于左子树  
        {  
            if(X > T->Right->Element)//对α的右儿子的右子树进行一次插入，需要右旋  
                T = SingleRotateWithRight(T);  
            else//对α的右儿子的左子树进行一次插入，需要双旋  
                T = DoubleRotateWithRight(T);  
        }  
    }  
    T->Height = Max(Height(T->Left), Height(T->Right)) + 1;  
    return T;  
}  
  
Position Find(ElementType X, AvlTree T)  
{  
    if(T == NULL)  
        return NULL;  
    if(X < T->Element)  
        return Find(X, T->Left);  
    else if(X > T->Element)  
        return Find(X, T->Right);  
    else  
        return T;  
}  
  
Position FindMin(AvlTree T)  
{  
    if(T == NULL)  
        return NULL;  
    else if(T->Left == NULL)  
        return T;  
    else  
        return FindMin(T->Left);   
}  
  
Position FindMax(AvlTree T)  
{  
    if(T == NULL)  
        return NULL;  
    else if(T->Right == NULL)  
        return T;  
    else  
        return FindMax(T->Right);  
}  

testavl.c测试AVL树的实现

[cpp]
view plaincopy

#include "avltree.h"  
#include   
#include   
  
void InOrder(AvlTree T)  
{  
    if(T != NULL)  
    {  
        InOrder(T->Left);  
        printf("%d ", T->Element);  
        InOrder(T->Right);  
    }  
}  
  
void PreOrder(AvlTree T)  
{  
    if(T != NULL)  
    {  
        printf("%d ", T->Element);  
        PreOrder(T->Left);  
        PreOrder(T->Right);  
    }  
}  
  
int main(void)  
{  
    AvlTree T;  
    Position P;  
    int i;  
  
    T = MakeEmpty(NULL);  
    for(i = 1; i <= 7; i++)  
        T = Insert(i, T);  
    for(i = 16; i >= 10; i--)  
        T = Insert(i, T);  
    T = Insert(8, T);  
    T = Insert(9, T);  
    printf("Root: %d\n", T->Element);  
    printf("InOrder:  ");  
    InOrder(T);  
    printf("\nPreOrder: ");  
    PreOrder(T);  
    putchar('\n');  
    system("Pause");  
  
    return 0;  
}  

测试：首先插入1到7，然后插入16到10，最后插入8和9。AVL树的应该为下图所示



测试结果如下图所示



[cpp]
view plaincopy

  
  
  
  
  
  
  

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