二分图最佳完美匹配

最佳完美匹配即权值和最大的完美匹配，这里运用到KM算法。

引进两个概念：

1、可行顶标，为一个节点函数l，使任意边（u，v）均满足l(u)+l(v)>=w(u,v);

2、相等子图,为原图的一个生成子图，包含所有点以及满足l(u)+l(v)=w(u,v)的边。

定理：如相等子图G’有完美匹配，则该匹配即为所求。

证明：G’的权值和为所有顶点的顶标和Sum，而此时原图G任意一个完美匹配的权值和均<=Sum。

算法流程：

1.构造一个可行顶标（一般可令lx（u）为与u相连的边的最大权值，ly（v）=0）；

2.搜索寻找增广路，如找到换下一个节点，否则转3；

3.设X为搜索中左边已访问的点，Y为右边已访问的点，令路M(搜索失败)上所有边，在X中的顶标减去d，在Y中的顶标加上d，

d为min{l(x)+l(y)-w(x,y)},x属于X,y不属于Y。下面说明一下为什么这样选取d：

如果比d小不能保证有新边加入，而大于d会顶标变得不可行，破坏性质。

4.调整后l继续执行2；

时间O(n^4)如果加一个小优化，在计算d时用一个数组slack[v]（v不属于Y）来维护与v相连的边min{lx(u)+ly(v)-w(u,v)}可降下一个n。

来道板子POJ3565





为什么上面的A了，下面的WA？（窝调了一天QAQ）

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define maxn 1005
#define eps 1e-10
#define INF 0x3f3f3f3f
#include <cmath>
int n,m,match[maxn],head[maxn],vis[maxn],visy[maxn];
using namespace std;
double d,slack[maxn],lx[maxn],ly[maxn],x[maxn],y[maxn],p,q;
struct xx{
int v,next;
double q;
}b[maxn*maxn*2];

void add(int u,int v,double q)
{
b[++m]=(xx){v,head[u],q};
head[u]=m;
}

int find(int t)
{
vis[t]=1;
for (int k=head[t];k!=0;k=b[k].next)
{
int v=b[k].v;
double g=lx[t]+ly[v]-b[k].q;
if (visy[v]) continue;
if (abs(g)<=eps)//该边可行
{
visy[v]=1;
if (!match[v]||find(match[v]))
{
match[v]=t;
return true;
}
}else slack[v]=min(slack[v],g);//t在X中且v不在Y中
}
return false;
}

void km()
{
memset(match,0,sizeof(match));
//memset(ly,0,sizeof(ly));
for (int i=1;i<=n;i++) ly[i]=0;
for (int i=1;i<=n;i++)
{
lx[i]=-INF;
for (int k=head[i];k!=0;k=b[k].next)
lx[i]=max(lx[i],b[k].q);
}
for (int i=1;i<=n;i++)
{
//memset(slack,INF,sizeof(slack));
for (int j=1;j<=n;j++) slack[j]=INF;
for (;;)
{
memset(vis,0,sizeof(vis));
memset(visy,0,sizeof(visy));
if (find(i)) break;//找到增广路
d=INF;             //调整lx和ly
for (int j=1;j<=n;j++)
if (!visy[j]) d=min(d,slack[j]);
for (int j=1;j<=n;j++){
if (vis[j]) lx[j]-=d;//在X中
}
for (int j=1;j<=n;j++){
if (visy[j]) ly[j]+=d;//在Y中
else slack[j]-=d;     //不在Y中则维护slack
}
}

}
return ;
}

int main()
{

while (scanf("%d",&n)==1)
{
m=0;
memset(head,0,sizeof(head));
for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf",&x[i],&y[i]);
for (int i=1;i<=n;i++){
scanf("%lf%lf",&p,&q);
for (int j=1;j<=n;j++){
double dis=sqrt((x[j]-p)*(x[j]-p)+(y[j]-q)*(y[j]-q));//??????
add(j,i,-dis);//add(i,j,-dis);
}
}
km();
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=n;j++)
if (match[j]==i)
{
printf("%d\n",j);
break;
}
}
return 0;
}