有关矩阵的一点讨论

本篇是有关矩阵的内容：

首先，有关线性变换

线性变换：向量集间的映射——且必须是具有线性性质的映射；

记为:F(x) x,F(x)∈向量空间

何为线性性质？

F(x+y)=F(x)+F(y)　　x,y∈向量空间

F(λx)=λF(x)　　λ∈R，x∈向量空间

......

这是很好的性质！！！（姜爷语）

然后，是对矩阵的一点理解

给一个线性变换 F(x)，她可以把一个N维向量变成M维

那么显然x的每一维都可能影响着F(x)的每一维，于是，F(x)这个线性变换就应该是N*M个在每两维间的小映射构成的。

于是我们可以把她写成M行N列的矩阵（M行N列是出于约定的习惯）

所以矩阵是用于形象的表示线性变换的工具；

F(x)所对应的矩阵记为F

如何合乎习惯的构造矩阵和矩阵乘向量

首先，一个把N维向量变成M维的线性变换 F(x)，一定对应一个M行N列的矩阵；

矩阵的i行j列，表示x的第j维以什么权值（其实是多少倍）影响F(x)第i维的构造；

x的所有维对F(x)的某一维的影响的和，即是F(x)这一维的结果；

如，有一个三元组（3维向量）x{a,b,c}

定义F(x)={a+b,b+c}

那么可以构造矩阵（2*3的）：

[1 1 0]

[0 1 1]

我们发现：

计算得：F(x)={1*a+1*b+0*c，0*a+1*b+1*c}={a+b,b+c}　　果然没错！！

我们认为F(x)的值是矩阵F乘以x的结果

所以，这也是矩阵乘向量的计算法则

有关矩阵和数的运算：

下面就是一些比较简单的内容啦：

矩阵加实数：
F+λ即为对于矩阵中每个点加λ

矩阵乘实数：

F×λ即为对于矩阵中每个点乘λ

有关矩阵的复合（矩阵乘矩阵）的内容：

线性变换作为一种映射，当然可以复合啦！

比如F(x)把五维向量变成四维，G(x)把四维向量变成三维；

那么G[F(x)]就能把五维向量变成三维了；

设H(x)=G[F(x)];

那么H(x)的矩阵H是什么呢？

她是G和F的乘积；

如何相乘？

回到本题开头的例子：

F显然是个4*5的矩阵，G是3*4的

H应该是3*5的（行数前列数后）

由上题给出的理解方式H[i,j](表示H的第i行第j列)

表示x的第j维对H(x)的第i行的影响

影响是怎么产生的呢？

x的第j维,先是按照F第j列影响了F(x)的每一维；

F(x)的每一维又按照G第i列影响了G[F(x)]的第i维；

如下图的两矩阵（左边为G，右边F）

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复合得H

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标记复合矩阵的某点

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原矩阵的如下点贡献了复合矩阵的这个点

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所以我们得知了H[i,j]与G，F中的那些值有关

那她们是什么关系呢？（八卦！！）

由于F(x+y)=F(x)+F(y)的线性性质；

我们可以把N维向量x化为N个只有一维非零的N维向量E1,E2,E3...En的和

把这N个向量扔到G(F(x))和H(x)中，可以清晰地看出H[i,j]与G，F的关系——

H[i,j]=F[1,j]*G[i,1]+F[2,j]*G[i,2]+F[3,j]*G[i,3]+....

矩阵乘矩阵的法则：矩阵第m行与第n列交叉位置的那个值，等于第一个矩阵第m行与第二个矩阵第n列，对应位置的每个值的乘积之和。