[APIO2010] 特别行动队
2017-02-04 23:15
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题目描述
你有一支由n名预备役士兵组成的部队,士兵从1到n编号,要将他们拆分成若干特别行动队调入战场。出于默契考虑,同一支特别行动队中队员的编号应该连续,即为形如(i,i+1,…,i+k)的序列。编号为i的士兵的初始战斗力为xi,一支特别运动队的初始战斗力x为队内士兵初始战斗力之和,即x=(xi)+(xi+1)+…+(xi+k)。
通过长期的观察,你总结出一支特别行动队的初始战斗力x将按如下经验公式修正为x’:x’=ax^2+bx+c,其中a,b,c是已知的系数(a<0)。
作为部队统帅,现在你要为这支部队进行编队,使得所有特别行动队修正后战斗力之和最大。试求出这个最大和。
例如,你有4名士兵,x1=2,x2=2,x3=3,x4=4。经验公式中的参数为a=-1,b=10,c=-20。此时,最佳方案是将士兵组成3个特别行动队:第一队包含士兵1和士兵2,第二队包含士兵3,第三队包含士兵4。特别行动队的初始战斗力分别为4,3,4,修正后的战斗力分别为4,1,4。修正后的战斗力和为9,没有其它方案能使修正后的战斗力和更大。
输入格式
输入由三行组成。第一行包含一个整数n,表示士兵的总数。第二行包含三个整数a,b,c,经验公式中各项的系数。第三行包含n个用空格分隔的整数x1,x2,…,xn,分别表示编号为1,2,…,n的士兵的初始战斗力。输出格式
输出一个整数,表示所有特别行动队修正战斗力之和的最大值。样例数据
样例输入
4-1 10 -20
2 2 3 4
样例输出
9数据范围
20%的数据中,n<=1000;50%的数据中,n<=10000;
100%的数据中,1<=n<=1000000,-5<=a<=-1,|b|<=10000000,|c|<=10000000,1<=xi<=100。
题目分析
被这题坑惨了。容易写出动规方程
fi=max fj+a(sumi−sumj)2+b(sumi−sumj)+c
考虑斜率优化
化简为
fi−asum2i−bsumi−c=fj+asum2j−2asumisumj−bsumj
令fj+asum2j−bsumj=y
sumi=k
2asumj=x
因为k单调递增且为正,维护下凸包
当然也可以令2asumi=k sumj=x
但因为a为负,所以k单调递减,维护上凸包
一定要看数据范围啊,a为负
源代码
#include<algorithm> #include<iostream> #include<iomanip> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<vector> #include<cstdio> #include<cmath> #include<queue> using namespace std; typedef long long LL; inline const LL Get_Int() { LL num=0,bj=1; char x=getchar(); while(x<'0'||x>'9') { if(x=='-')bj=-1; x=getchar(); } while(x>='0'&&x<='9') { num=num*10+x-'0'; x=getchar(); } return num*bj; } LL n,f[1000005],Cost[1000005],sum[1000005],Q[1000005],ans=0,Cut=0; double Slope(int j,int k) { return (double)(f[j]-f[k])/(k-j); } int main() { cin>>n; for(int i=1; i<=n; i++)Cost[i]=Get_Int(); for(int i=1; i<=n; i++)sum[i]=sum[i-1]+Get_Int(); for(int i=1; i<n; i++)ans+=(sum[i]-sum[i-1])*(n-i); ans+=Cost ; int Left=1,Right=1; Q[1]=n; for(int i=n-1; i>=1; i--) { while(Left<Right&&Slope(Q[Left],Q[Left+1])>=sum[i])Left++; //维护队首(删除非最优决策) int Front=Q[Left]; f[i]=f[Front]+sum[i]*(Front-i)-Cost[i]; Cut=max(Cut,f[i]); while(Left<Right&&Slope(Q[Right-1],Q[Right])<=Slope(Q[Right],i))Right--; //维护队尾(维护上凸包性质) Q[++Right]=i; } printf("%lld\n",ans-Cut); return 0; }
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