Problem H. Great Cells(2016 China-Final)【数学计数+智力题】

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题意：这是2016 ACM-ICPC China-Final的H题，在N×M的网格里填[1，K]的整数，定义一个格子是great的，如果满足这个格子中的数是本行和本列中严格的最大值。定义A-g为网格中恰好有g个great格子的填法数，求Σ(g+1)A-g

思路：这题乍一看需要用组合数学 容斥原理计算A-g，但是这样做比较麻烦复杂。但其实这题是(g+1)的套路。。。简便做法是观察整体，把问题转化成每个位置是great格子对最终答案的贡献和，这样就绕开了A-g的计算。

首先，考虑整体的填法：K^(M×N)——这个是容易计算的，那么我们先企图用整体填法数化简待求式！我们发现将待求式展开，后面的ΣA-g的和便是整体的填法数。（一般都需要先拿整体化简一把！）

于是现在只需着手计算Σg*A-g，这个就用贡献和的思想转化，因为有g个great格的填法数乘了个g相当于摊到了这g个位置上，也就是说每个great格独立了，也即每一个格是great格对Σg*A-g贡献=使这个格是great的所有填法总数：

Contrib=Σ（i=1到i=K-1）i^(N-1+M-1)×K^[(N-1)×(M-1)]      
（转化为贡献和，有点智力题的感觉orz..）

这里注意一点：以上公式没有考虑n=m=1的情况，因为这时填1也算是great格（而以上公式从填2开始考虑的）

从而最后

ans=Contrib×N×M+K^(M×N)

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL mod=1e9+7;

LL qmod(LL a,LL b) //快速幂
{
LL ans=1;
while(b)
{
if(b&1==1) ans=ans*a%mod;
a=a*a%mod;
b>>=1;
}
return ans;
}

int main()
{
int t,T;
LL m,n,k,ans;
scanf("%d",&T);
for(t=1;t<=T;t++)
{
scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);
ans=0;
for(LL i=1;i<k;i++)
{
ans=(ans+qmod(i,m+n-2))%mod;
}
ans=ans*qmod(k,(m-1)*(n-1))%mod;
ans=(ans*n%mod)*m%mod;
ans=(ans+qmod(k,n*m))%mod;
if(m==1 && n==1) ans=(ans+1)%mod; //m=n=1时特判！！！
printf("Case #%d: %lld\n",t,ans);
}
return 0;
}