题意

给定a, b, c, d, k，求出：
\[\sum_{i=a}^b\sum_{j=c}^d[gcd(i, j) = k]\]

题解

为方便表述，我们设
\[calc(\alpha, \beta) = \sum_{i=1}^{\alpha}\sum_{j=1}^{\beta}[gcd(i, j) = k]\]
令\(A = \{ (x, y) | x < a\}\), \(B = \{(x, y)|y < c\}\)，

根据容斥原理，
\[|S| = |U| - |A| - |B| + |A \cap B|\]
所以，原式就是：
\[calc(b, d) - calc(a-1 ,d) - calc(b, c-1) + calc(a-1, c-1)\]
这样我们就把一个询问拆分成了四个询问，即，问题就转换成了计算\(calc(\alpha, \beta)\)

令
\[f(x) = \sum_{i=1}^b\sum_{j=1}^d[gcd(i, j) = x] \]
显然，f(x)并不方便计算，但是如果我们设
\[F(x) = \sum_{i=1}^b\sum_{j=1}^d[gcd(i, j) = \lambda， x|\lambda]\]
我们可以得出F(x)与f(x)的关系，
\[F(x) = \sum_{x|d} f(d)\]
F(x)就相对好计算的多，我们很容易有：
\[F(x) =\lfloor \frac{b}{i}\rfloor \lfloor\frac{d}{i} \rfloor\]
但是这一点对于我这种蒟蒻来说并不显然，所以这里给出一个证明。

然后，根据mobius反演（《具体数学》P113 4.9 \(\phi\)函数与\(\mu\)函数）：
\[f(x) =\sum_{d|x} \mu(d) F(\frac{x}{d})\]
但是这种反演形式并不适合解此题，我们采取另外一种形式：
\[f(x) = \sum_{x|d} \mu(\frac{d}{x}) F(d) = \sum_{x|d}\mu(\frac{d}{x}) \lfloor \frac{n}{d} \rfloor \lfloor \frac{m}{d} \rfloor\]
由于枚举倍数显然只需要枚举到min(n, m)，所以复杂度为\(\Theta(n+m)\)
根据神犇的课件。
观察式子，我们发现：
\(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor\)的取值最多有\(2 \sqrt n\)种（约数的个数），所以如果我们枚举\(\lfloor \frac{n/m}{d} \rfloor\)的取值，只需要枚举\(2(\sqrt n + \sqrt m)\)即可，复杂度就成了\(\Theta (\sqrt n + \sqrt m)\)
对于同一个取值，\(\mu\)函数是不同的，但是属于一个区间，我们可以统一求和，维护一个前缀和即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 50005;
int T, a, b, c, d, k;
int mu[maxn+5], sumu[maxn+5], prime[maxn+5], check[maxn+5];
int tot = 0;
void get_mu() {
memset(check, 0, sizeof(check));
mu[1] = 1;
for(int i = 2; i <= maxn; i++) {
if(!check[i]) {
prime[tot++] = i;
mu[i] = -1;
}
for(int j = 0; j < tot; j++) {
if(i * prime[j] > maxn) break;
check[i * prime[j]] = 1;
if(i % prime[j] == 0) {
mu[i * prime[j]] = 0;
break;
} else {
mu[i * prime[j]] = -mu[i];
}
}
}
}

void init() {
get_mu();
for(int i = 1; i <= maxn; i++) sumu[i] = sumu[i-1] + mu[i];
}

int calc(int n, int m) {
n/=k;
m/=k;
int ret = 0;
int last;
if(n > m) swap(n, m);
for(int i = 1; i <= n; i = last + 1) {
last = min(n / (n/i), m / (m/i));
ret += (n / i) * (m / i) * (sumu[last] - sumu[i-1]);
}
return ret;
}
int main() {
init();
scanf("%d", &T);
while(T--) {
scanf("%d %d %d %d %d", &a, &b, &c, &d, &k);
int ans = calc(b, d) - calc(a-1, d) - calc(b, c-1) + calc(a-1, c-1);
printf("%d\n", ans);
}
return 0;
}

觉得自己好蠢。。。