【BZOJ2818】Gcd(莫比乌斯反演)

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莫比乌斯反演是组合数学中很重要的内容，可以用于解决很多组合数学的问题。

参考

假设有两个定义在非负整数集上的函数f(n)和F(n)

有两种表述形式

第一种：

F(n)=∑d|nf(d) 则

f(n)=∑d|nμ(d)F(nd)

第二种：

F(n)=∑n|df(d)则

f(n)=∑n|dμ(dn)F(d)

关于莫比乌斯函数μ(d)的定义,如下：

1.若d=1，则μ(d)=1

2.若d=p1p2,...,pk,pi均为互异素数，则μ(d)=(−1)k

3.其他情况下μ(d)=0

这里用到第二种表述

我们假设

f(k) 等于gcd(x,y) == k的个数

F(k)等于gcd(x,y) == k的倍数的个数

因为gcd(x,y)==k 等价于gcd(xk,yk)==1

所以我们可以把范围缩小到(1,N/k)

也就是说我们要求的f(k) 变成了f(1)

根据上述第二种表述，令n==1，即

f(1)=∑Nkd=1μ(d)F(d)

根据F(d)的假设，有F(d)=⌊N/kd⌋∗⌊M/kd⌋共有这么多gcd(x,y)==d∗k的个数

(N为x的区间，M为y的区间，在这题中N==M)

所以f(1)=∑Nkd=1μ(d)∗⌊N/kd⌋∗⌊M/kd⌋

然后我们枚举每一个k，在这题中是[1,N]的素数

然后求出每一个k对应的f(1)，将这些f(1)全部相加即可

跑了4s多。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define cl(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
typedef long long LL;
const int maxn = 10000000 + 10;
bool check[maxn];
int mu[maxn],prime[maxn];
void Mobius()
{
cl(check,false);
mu[1] = 1;
int tot = 0;
for( int i = 2; i < maxn; i++ ){
if(!check[i]){
prime[tot++] = i;
mu[i] = -1;
}
for( int j = 0; j < tot; j++ ){
if(i * prime[j] >= maxn)break;
check[i*prime[j]] = true;
if(i % prime[j] == 0){
mu[i * prime[j]] = 0;
break;
}
else {
mu[i * prime[j]] = -mu[i];
}
}
}
}
int main()
{
Mobius();
int n;
while(~scanf("%d",&n)){
LL ans = 0;
for( int i = 0; prime[i] <= n; i++ ){
int tmp = n / prime[i];
for( int j = 1; j <= tmp; j++ ){
ans += (LL)mu[j] * (tmp/j) * (tmp/j);
}
}
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}