DP（动态规划）个人学习-初步

动态规划是一种重要算法，其思想，在我个人理解来看，就是把问题逐步地进行简化，从一个看似复杂的问题，将问题化小，简化到可以用某条公式（状态转移方程）逐步求出每种状态的解，直到最后求出所要的答案。

比如01背包问题，背包容量有限，要尽可能装入价值大的物品，我们可以假设一个dp数组，其中dp[j]表示在容量为j的情况下最多能装入多少价值的物品，这样就把问题简化到求一个个状态了，但是明显还是不够用来解决问题，那么怎么办呢？想想：对于每一种物品，都有装入和不装入两种选择，于是多了这么一中约束条件：装\不装。又由于每种物品只有一件，所以应该从后往前更新，保证每种物品只被装入一遍，这样一步步推下来，就得到了我们所要的状态转移方程：

dp[j] = max{ dp[j-w[i]]+v[i], dp[i+1] }
具体代码则要写成这样：

for(int i = 0; i < n ;i++)
for(int j = W; j >= w[i]; j--)
dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]]+v[i]);好像有点难以理解？其实就是一种数学思想，做动态规划要对状态的转移有足够清晰的思路，最后还得回到

做题上。下面是HDU上一个关于DP的题目组，要掌握好各种算法最最最主要的还是多做题！
http://acm.hdu.edu.cn/problemclass.php?id=516&page=1

下面先上一道最简单的DP题：HDU-1003  Max Sum

题目意思就是给一串数字，要你求出其中和最大的子序列，输出最大的和，子序列的起始和结束点。

如何做这道题呢？首先简化下问题，我们可以求到每个数字时以这个数字为结尾的最大子序列和是多少，于是dp数组出来了，接下来，如何实现状态转移？考虑这样一件事实：对于每一个a[i]，dp[i-1]都有加或不加的权利，如果加上他能使其接近答案，那么就加上。怎样才算接近答案呢？如果该dp[i-1]大于0，那么无疑可以加上，不管加上后是正是负在以后的状态转移中再来筛除。如果dp[i-1]小于0，那么这一段可以舍弃掉了，直接从当前数字起始，即dp[i] = a[i]。方程出来了！

上面说的有点繁琐，主要为了初学者和自己便于理解，具体见代码，不正确的地方还请大牛指正！

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;
int a[100000+20], dp[100000+20];

int main()
{
int T, n, j = 1;
scanf("%d", &T);
while(T--) {
int left = 0, right = 0, maxn;
memset(dp, 0, sizeof(dp));
scanf("%d", &n);
for(int i = 0; i < n; i++)
scanf("%d", &a[i]);
maxn = dp[0] = a[0];
// 根据状态转移方程写出dp数组，同时记录最大值，dp[i]最大时即在此时应该记录的右值为i
for(int i = 1; i < n; i++) {
dp[i] = dp[i-1] > 0 ? dp[i-1]+a[i] : a[i];
if(maxn < dp[i]) {
maxn = dp[i];
right = i;
}
}
left = right; // 这一句非常重要，漏了这句WA了十几次，因为要考虑到子序列是一个数的结果，这个初始化不能少
for(int i = left-1; i >= 0; i--) { // 从右值开始向前推知道找到这个子序列的左值
if(dp[i] >= 0)
left = i;
else
break;
}
printf("Case %d:\n%d %d %d\n", j++, maxn, left+1, right+1);
if(T)
printf("\n");
return 0;
}
}

接下来是1003的升级版：HDU-1024  Max Sum Plus Plus
题目意思与上面差不多，改变的是这次要求多段子序列和最大。

这次加了个条件，求n段的子序列的最大和。如何入手呢？首先先写一下二维的dp方程：

dp[i][j] = max{dp[i][j-1], dp[i-1][k]} + s[i]

dp[i][j]表示前j个数字的i个子序列最大和是多少，很好，状态转移方程不难写出，接下来考虑一下如何优化？二维的写法我也不是很会写，能化成一维就更好了。思考一下：在我们的方程中，用到了什么？其实也只有当前状态(dp[i][j-1])和上一个状态(dp[i-1][k])而已！于是可以用两个一维数组表示。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

typedef long long ll;
using namespace std;
int s[1000000+20];
ll cur[1000000+20], pre[1000000+20];

int main()
{
int m, n, j;
ll maxsum;
while(~scanf("%d%d", &m, &n)) {
for(int i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", &s[i]);
}
memset(cur, 0, sizeof(cur)); // 当前状态
memset(pre, 0, sizeof(pre)); // 上一次状态
for(int i = 1; i <= m; i++) { // 从第一个子段开始
maxsum = -1e9; // 每次最大值复位
for(j = i; j <= n; j++) { // i子段状态上推下下一个子段
cur[j] = max(cur[j-1], pre[j-1]) + s[j]; //方程
pre[j-1] = maxsum; // 记录上一个状态
maxsum = max(maxsum, cur[j]); // 最大值
}
pre[j-1] = maxsum;
}
printf("%lld\n", maxsum);
}
return 0;
}


未完待更。。。