2016 ACM-ICPC China Finals #F Mr. Panda and Fantastic Beasts

题目链接$\newcommand{\LCP}{\mathrm{LCP}}\newcommand{\suf}{\mathrm{suf}}$

题意

给定 $n$ 个字符串 $s_1, s_2, \dots, s_n$，求只在 $s_1$ 中出现过的最短子串，若有多解，输出字典序最小的。

分析

为了方便, 称只在 $s_1$ 中出现过的子串为「特殊子串」，记「字符串 $s$ 是字符串 $t$ 的子串」作 $ s \sqsubseteq t$ 。

引理 1
若 $s'$ 是特殊子串，若字符串 $s$ 满足 $s \sqsubseteq s_1$ 且 $s' \sqsubseteq s$，那么 $s$ 也是特殊子串。

因此可二分答案。

问题化为: 判断是否存在长为 $x~(x \le |s_1|)$ 的特殊子串.

用后缀数组解决上述判定问题

1. 将 $s_1, s_2, \dots, s_n$ 用 未在原串中出现过 且 各不相同 的字符链接成一个长串 $s$ , 构造 $s$ 的后缀数组 $\suf_1, \suf_2, \dots, \suf_i, \dots$ 和 height 数组 $h_1, h_2, \dots, h_i, \dots$ .
2. 寻找后缀数组中满足如下条件的连续段 $\suf_i, \suf_{i+1}, \dots, \suf_j, \dots, \suf_{i+k-1}$. $\suf_j$ 起始于 $s_1$ 中
3. $|\suf_j \sqcap s_1| \ge x$
4. $|\LCP(\suf_{j_1}, \suf_{j_2})| \ge x$, $\LCP(s, t)$ 指字符串 $s, t$ 的最长公共前缀 (Longest Common Prefix)
5. $h_i<x$ 且 $h_{i+k}<x$

存在长为 $x$ 的特殊子串 $\Longleftrightarrow$ 存在上述连续段

Implementation

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=3e5+5;
char s
;
int a
;
int suf
, suf2
, rk
, cnt
, h
;

void SA(int *s, int n, int m, int *suf, int *suf2, int *rk, int *cnt){
for(int i=0; i<m; i++)
cnt[i]=0;
for(int i=0; i<n; i++)
cnt[rk[i]=s[i]]++;
for(int i=1; i<m; i++)
cnt[i]+=cnt[i-1];
for(int i=n-1; i>=0; i--)
suf[--cnt[rk[i]]]=i;

for(int len=1; len<n; len<<=1){
int tail=0;
for(int i=n-len; i<n; i++)
suf2[tail++]=i;
for(int i=0; i<n; i++)
if(suf[i]>=len) suf2[tail++]=suf[i]-len;

for(int i=0; i<m; i++)
cnt[i]=0;
for(int i=0; i<n; i++)
cnt[rk[i]]++;
for(int i=1; i<m; i++)
cnt[i]+=cnt[i-1];
for(int i=n-1; i>=0; i--)
suf[--cnt[rk[suf2[i]]]]=suf2[i];

swap(suf2, rk);
auto same=[suf2, len](int i, int j){
return suf2[i]==suf2[j] && suf2[i+len]==suf2[j+len];
};

rk[suf[0]]=0;
for(int i=1; i<n; i++)
rk[suf[i]]=rk[suf[i-1]]+!same(suf[i], suf[i-1]);

m=rk[suf[n-1]]+1;
if(m==n) break;
}
}

void calc(int *a, int *suf, int n, int *rk, int *h){
for(int i=0; i<n; i++)
rk[suf[i]]=i;

for(int i=0, lcp=0; i<n-1; i++){
if(lcp) --lcp;
for(int j=suf[rk[i]-1]; a[j+lcp]==a[i+lcp]; lcp++);
h[rk[i]]=lcp;
}
}

int ok(int x, int len0, int len, int *h){
//two-pointers
for(int i=1; i<=len; i++){  //tricky
if(suf[i]<len0 && suf[i]+x <= len0 && h[i]<x){  //error-prone
for(++i; i<=len && h[i]>=x && suf[i]<len0; i++);
if(i>len || h[i]<x){
assert(suf[i-1]>=0);
return suf[i-1];
}
}
}
return -1;
}

int main(){
int T;
cin>>T;

for(int cas=1; cas<=T; cas++){
printf("Case #%d: ", cas);
int n;
cin>>n;
cin>>s;
int len0=strlen(s), len=len0;

for(int i=1; i<n; i++){
s[len++]='#';
cin>>(s+len);
len+=strlen(s+len);
}

int m=256;

for(int i=0; i<=len; i++){
if(s[i]=='#') a[i]=m++;
else a[i]=s[i];
}

SA(a, len+1, m, suf, suf2, rk, cnt);
calc(a, suf, len+1, rk, h);

int l=0, r=len0+1, res=-1;
for(; l+1<r; ){
int mid=(l+r)>>1;
int tmp=ok(mid, len0, len, h);
if(tmp!=-1){
res=tmp;
r=mid;
}
else l=mid;
}

if(r>len0) puts("Impossible");
else{
for(int i=res; i<res+r; i++)
putchar(s[i]);
puts("");
}
}

return 0;
}