数学分析--泰勒定理的故事

泰勒定理的奇闻轶事

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泰勒展开式(Taylor expansion)的剩余项救人一命！

在俄国革命期间(1917年左右)，数学物理家塔姆(Igor Tamm)外出找食物，在靠近敖德萨(Odessa)的乡间被反共产主义的报案人人员逮捕。保安人员怀疑他是反乌克兰的共产主义者，于是把他带回总部。

头目问：你是做什么的？塔姆：我是一名数学家。

头目心存怀疑，拿着枪，手指扣着扳机，对准他，手榴弹也在他面前晃动。

头目说：好吧，那么一个函数做泰勒展开到第n项之后，你就把误差项算出来。如果你算对了，就放你一条生路，否则就立刻枪毙。

于是塔姆手指发抖，战战兢兢地慢慢计算，当他完成时，头目看过答案，挥手叫他赶快离开。

塔姆在1958年获得诺贝尔物理学奖，但是他从未再遇见这位非凡的头目。

泰勒展开定理就是要利用微分和积分工具，来剖析函数的结构。

假设函数f定义在开区间(a,b)上，并且

c∈(a,b)

当我们知道f的信息越多，对f的剖析就越精细。

这个信息包括两个方面，一个是f的可微分的阶数逐渐提高，这是一种泛泛的条件；另一个是f在一点c的各阶微分系数的阶数也不断增加，这是一点(局部)的信息逐渐加深。

若f为一阶连续可微分函数，并已知f(c)之值，那么有微积分基本定理的Newton-Leibniz公式知

f(x)=f(c)+∫xcf′(x)dt(1)

即f(x) 可以剖析为清楚的f(c) 与尚未完全清清楚的

∫xcf′(t)dt

两项之和

若f 为二阶连续可微分，并且已知f(c) 与f′(c) 的值，那么由(1)式与分布积分公式得知。

f(x)=f(c)+∫xcf′(t)dt=f(c)−∫xcf′(t)d(x−t)=f(c)−[(x−t)f′(t)|xc−∫xcf′′(t)(x−t)dt]

从而

f(x)=f(c)+f′(c)(x−c)+∫xcf′′(t)(x−t)dt(2)

即f(x) 可以剖析为清楚地一次多项式f(c)+f′(c)(x−c) 与尚未完全清楚的

∫xcf′′(t)(x−t)dt

若f 为三阶连续可微分，并且已知f(c),f′(c),f′′(c) 之值，那么由(2)式与分部积分公式得知

f(x)=f(c)+f′(c)(x−c)−∫xcf′′(t)2!d(x−t)2=f(c)+f′(c)(x−c)−[f′′(t)2!(x−t)2|xc−∫xcf3(t)2!(x−t)2dt]

从而

f(x)=f(c)+f′(c)(x−c)+f′′(t)2!(x−c)2+∫xcf(3)(t)2!(x−t)2dt(3)

即f(x) 可以剖析成清楚的二次多项式

P2(x)=f(c)+f′(c)(x−c)+f′′(c)2!(x−c)2(4)

与尚未清楚的剩余项

R3(x)=∫xcf(3)(t)2!(x−t)2dt(5)

利用积分的平均值定理,(5)式又可以写成

R3(x)=f(3)(ϵ)3!(x−t)3(6)

我们称P2(x) 为二阶泰勒多项式。按上述推理过程，继续做下去（数学归纳法），我们就得到如下美丽的泰勒展开定理：

泰勒展开定理（1715年）： 设函数f 在区间(a,b) 上具有n+1 阶连续的可微分，c∈(a,b),则对任意x∈(a,b)

可以展开成：

f(x)=f(c)+f′(c)(x−c)+f′′(c)2!(x−c)2+⋯+f(n)(c)n!(x−c)n+Rn+1(x)

其中的剩余项（或误差项）Rn+1(x) 可以表示成微分形式或积分形式：

Rn+1(x)=f(n+1)(ϵ)(n+1)!(x−c)(n+1)

其中ϵ 介于c 与 x 之间，或：

Rn+1(x)=∫xcf(n+1)(t)n!(x−t)ndt

注： 泰勒(B.Taylor,1685~1731)是牛顿的学生，具有相当的音乐与艺术才华。他为了探求音律之谜，首开其端利用微积分来研究弦振动问题(1713年)，约一个世纪以后，傅里叶(Fourier)分析出现才达到高潮(1807年)。泰勒也研究投影画法的几何学，其美术作品至今仍然被珍藏于伦敦的国家画廊（the National Gallery）之中。