算法导论之钢条切割

算法导论之钢条切割

对动态规划问题一直理解不够透彻，先从简单的例子开始学习动态规划原理。

问题：

Sering 公司购买长钢条，将其切割为短钢条出售。切割工序本身没有成本支出。公司的管理层希望知道最佳的切割方案。

假定我们知道Serling公司出售一段长度为i英寸的钢条的价格为  (i=1,2,...,单位为美元)。钢条的长度均为英寸钢条和长度价格表如表1所示。

表1

钢条和长度　价格表：

长度	价格
1	$1
2	$5
3	$8
4	$9
5	$10
6	$17
7	$17
8	$20
9	$24
10	$30

钢条切割的问题是这样的：给定一段长度为n英寸的钢条和一个价格表P，求钢条的切割方案，使得销售收益最大。

求解思路：

计算机程序一次只能比较2个数的大小，有大于，等于，小于三种情况。对于钢条来说，假定我们一次切割一次将钢条切割成2段，如果切割成大于2段（没有想清楚）。

可以分为以下三种情况：

1）假定一段是待售的，另一段是待切割的。

2）假定两段都是待售的。

3）假定两段都是待切割的。

情况3可以明显的看出这种思路不能求解出最优解，这种思路作废。对于情况2，这种方式不能求出解，对于一个算法来说需要能够求出子问题，而不是递归的划分成子问题。

思路1）从初始值开始

符号定义：

定义 Vi 为i英寸所能销售的最大价格

假设一个0英寸的钢条，可以切为0英寸，价值为0美元。

假定一个1英寸的钢条，可以切割为1英寸和0英寸，价值为1美元。

假定一个2英寸的钢条，可以切割为（2英寸和0英寸）、（1英寸和1英寸），在这两种方案中选择V2=5 美元。

假定一个3英寸的钢条，可以切割为（3英寸和0英寸），（2英寸和1英寸），（3个1英寸的方案），在这种方案中选择，可以得出 V3=8 美元。

假定一个n英寸的钢条。可以切割为（n英寸和0英寸），（n-1英寸和1英寸）…等方案。

假定第一段用于出售，第二段用于继续切割，那么这个问题可以归纳为

Vn=max{Pi+Vn−i},i=1,2,...n 式子（1）

程序设计思路

数据结构定义

P数组用于保存价格

V数组用于保存各种长度的钢条所能售出的最大价格。

C数组用于保存各种长度的钢条切割第一段的待售的长度。

从式子1可以看出长度长的钢条求最大销价格需要较短的钢条的求解结果。

从钢条长度为1计算到要求的钢条长度的值,再将此问题分解为小问题遍历所有的可能性进行求解，假定要求的钢条长度为n，程序设计思路如下(伪代码)：

//初始化
P = 价格表
V = 0
C = 0
//求解最优值
for i=1:n
{
for(j=1:i)
{
if(V[i] < V[j] + P[i-j])
{
V[i] = V[j] + P[i-j]
C[i] = i-j;
}
}
}
//输出最优值
//最大销售价格
V

//最优解输出
cLength = n

while cLength>0
C[cLength]
cLength -= C[cLength]

java 程序代码如下：

package stellCut;

public class Cut {

public static void main(String[] args)
{
//cutStell(10);
//cutStell(8);
cutStell(25);
}

//要切割钢条的长度
public static void cutStell(int length)
{
int[] V = new int[length+1];
int[] C = new int[length+1];

for(int i=1;i<=length;i++)
{
for(int j=0;j<i;j++)
{
if(V[i] < getPrice(i-j) + V[j])
{
V[i] = getPrice(i-j) + V[j];
C[i] = i-j;
}
}
}

//ouput the value of cut steel
System.out.println("max value is:" + V[length]+"$");
int cl = length;
while(cl>0)
{
System.out.print(" "+ C[cl] +" ");
cl = cl-C[cl];
}
}

//长度价格查询
public static int [] P = {0,1,5,8,9,10,17,17,20,24,30};

public static int getPrice(int length)
{
if(length>10)
return -1;
else
return P[length];
}
}