bzoj 4013: [HNOI2015]实验比较 （树形DP+组合数学）

4013: [HNOI2015]实验比较

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Description

小D 被邀请到实验室，做一个跟图片质量评价相关的主观实验。实验用到的图片集一共有 N 张图片，编号为 1 到 N。实验分若干轮进行，在每轮实验中，小 D会被要求观看某两张随机选取的图片， 然后小D 需要根据他自己主观上的判断确定这两张图片谁好谁坏，或者这两张图片质量差不多。 用符号“<”、“>”和“=”表示图片 x和y（x、y为图片编号）之间的比较：如果上下文中 x 和 y 是图片编号，则 x<y 表示图片 x“质量优于”y，x>y 表示图片 x“质量差于”y，x=y表示图片 x和 y“质量相同”；也就是说，这种上下文中，“<”、“>”、“=”分别是质量优于、质量差于、质量相同的意思；在其他上下文中，这三个符号分别是小于、大于、等于的含义。图片质量比较的推理规则（在x和y是图片编号的上下文中）：（1）x
< y等价于 y > x。（2）若 x < y 且y
= z，则x < z。（3）若x < y且 x
= z，则 z < y。（4）x=y等价于 y=x。（5）若x=y且 y=z，则x=z。 实验中，小 D 需要对一些图片对(x,
y)，给出 x < y 或 x = y或 x > y 的主观判断。小D 在做完实验后， 忽然对这个基于局部比较的实验的一些全局性质产生了兴趣。在主观实验数据给定的情形下，定义这 N 张图片的一个合法质量序列为形如“x1
R1 x2 R2 x3 R3 …xN-1 RN-1 xN”的串，也可看作是集合{ xi Ri xi+1|1<=i<=N-1}，其中 xi为图片编号，x1,x2,…,xN两两互不相同（即不存在重复编号），Ri为<或=，“合法”是指这个图片质量序列与任何一对主观实验给出的判断不冲突。 例如： 质量序列3
< 1 = 2 与主观判断“3 > 1，3 = 2”冲突（因为质量序列中 3<1 且1=2，从而3<2，这与主观判断中的 3=2 冲突；同时质量序列中的 3<1 与主观判断中的 3>1 冲突） ，但与主观判断“2
= 1，3 < 2”  不冲突；因此给定主观判断“3>1，3=2”时，1<3=2 和1<2=3 都是合法的质量序列，3<1=2 和1<2<3都是非法的质量序列。由于实验已经做完一段时间了，小D 已经忘了一部分主观实验的数据。对每张图片 i，小 D 都最多只记住了某一张质量不比 i 差的另一张图片 Ki。这些小 D 仍然记得的质量判断一共有 M 条（0
<= M <= N），其中第i 条涉及的图片对为(KXi, Xi)，判断要么是KXi   < Xi  ，要么是KXi
= Xi，而且所有的Xi互不相同。小D 打算就以这M 条自己还记得的质量判断作为他的所有主观数据。现在，基于这些主观数据，我们希望你帮小 D 求出这 N 张图片一共有多少个不同的合法质量序列。我们规定：如果质量序列中出现“x
= y”，那么序列中交换 x和y的位置后仍是同一个序列。因此： 1<2=3=4<5 和1<4=2=3<5 是同一个序列， 1
< 2 = 3和 1 < 3 = 2 是同一个序列，而1 < 2 < 3 与1 < 2 = 3是不同的序列，1<2<3和2<1<3 是不同的序列。由于合法的图片质量序列可能很多， 所以你需要输出答案对10^9
+ 7 取模的结果

Input

第一行两个正整数N,M，分别代表图片总数和小D仍然记得的判断的条数；
接下来M行，每行一条判断，每条判断形如”x < y”或者”x = y”。 

Output

 输出仅一行，包含一个正整数，表示合法质量序列的数目对 10^9+7取模的结果。

Sample Input

5 4

1 < 2

1 < 3

2 < 4

1 = 5

Sample Output

5

HINT

 不同的合法序列共5个，如下所示： 

1 = 5 < 2 < 3 < 4 

1 = 5 < 2 < 4 < 3 

1 = 5 < 2 < 3 = 4 

1 = 5 < 3 < 2 < 4 

1 = 5 < 2 = 3 < 4 

100%的数据满足N<=100。  

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题解：树形DP+组合数学

题目中说x<y或者x==y 中的y是互不相同的，那么如果根据读入的关系进行连边的话，一个y只会对应一个x，也就是只有一个前驱，这非常想树形结构。

但是题目中并没有保证不会出现环，所以我们需要特判是否存在环，如果存在则无解。

因为还有一些x==y的关系，我们用并查集维护相同的点，将所有的相等关系并到一起，然后重新建树，我们会得到一片森林，森林不好处理所以我加入一个虚点，将所有的森林穿成一颗树。

f[i][j]表示i的子树中，有j个不相同元素的方案数。

考虑如何将两个子树合并，因为子树中的元素是有序的，所有在合并的时候仍需要保证其有序性。

设两个子树的答案分别是f[x][i],f[y][j]

那么我们可以合并成的序列长度k=[max(i,j),i+j]

合并后的答案就是g[k]=f[x][i]*f[y][j]*c(i,k)*c(j-k+i,i) 因为必须保证有序性，所以我们先从空位中选择i个给第一棵子树，剩下的（k-i）个位置第二棵子树只能顺序插入，那么会有（j-k+i）个没有单独的位置，只能和第一棵子树的元素公用一个位置。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#define N 503
#define p 1000000007
#define LL long long
using namespace std;
int fa
,point
,nxt
,v
,px
,py
;
int n,m,tot,sum
,ins
,vis
;
LL f

,c

,g

,val

;
bool pd;
int find(int x)
{
if (fa[x]==x) return x;
fa[x]=find(fa[x]);
return fa[x];
}
void add(int x,int y)
{
tot++; nxt[tot]=point[x]; point[x]=tot; v[tot]=y;
//cout<<x<<" "<<y<<endl;
}
void calc(int x)
{
for (int i=0;i<=x;i++) c[0][i]=1;
for (int i=1;i<=x;i++)
for (int j=1;j<=i;j++)
c[j][i]=(c[j-1][i-1]+c[j][i-1])%p;
}
void dfs(int x)
{
bool mark=false; int mx=0;
sum[x]=1;
for (int i=point[x];i;i=nxt[i]){
dfs(v[i]);
if (mark) {
for (int k=1;k<=sum[x]+sum[v[i]];k++) g[x][k]=0;
for (int j=1;j<=sum[x]-1;j++)
for (int k=1;k<=sum[v[i]];k++)
for (int l=max(j,k);l<=j+k;l++)
g[x][l]=(g[x][l]+(val[x][j]*f[v[i]][k]%p*c[j][l]%p*c[k-l+j][j]%p)%p)%p;
for (int k=1;k<=sum[x]+sum[v[i]];k++) val[x][k]=g[x][k]%p;
}
else
for (int k=1;k<=sum[v[i]];k++) g[x][k]=val[x][k]=f[v[i]][k]%p;
sum[x]+=sum[v[i]];
mark=true;
}
for (int i=1;i<=n+1;i++)
f[x][i+1]=g[x][i]%p;
if (!mark) f[x][1]=1;
}
int main()
{
freopen("picture.in","r",stdin);
freopen("picture.out","w",stdout);
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
int cnt=0; calc(n*2);
for (int i=1;i<=m;i++) {
int x,y; char opt[2];
scanf("%d%s%d",&x,&opt,&y);
int r1=find(x); int r2=find(y);
if (opt[0]=='<') px[++cnt]=x,py[cnt]=y;
else fa[r2]=r1;
}
for (int i=1;i<=cnt;i++) {
int r1=find(px[i]); int r2=find(py[i]);
add(r1,r2); ins[r2]++; vis[r1]=1; vis[r2]=1;
}
int size=0;
for (int i=1;i<=n;i++)
if (!ins[i]&&find(i)==i&&vis[i]) {
add(n+1,i);
++size;
}
if (!size) {
printf("0\n");
return 0;
}
dfs(n+1);
LL ans=0;
for (int i=1;i<=n+1;i++)
ans=(ans+f[n+1][i])%p;
printf("%I64d\n",ans);
}