数据结构颓废计划I-树状数组复习

Simple but useful.

对于满足区间加法/减法性质的元素所组成的序列，可以使用树状数组来维护。

原理

一些约定

Ai 为原序列

Fenwick_Tree[i]为树状数组

lowbit

对于一个有符号类型的下标，我们定义：

lowbit(x)=x&(-x)

lowbit(x)的数学意义在于求出x的二进制表示的从右往左第一个1的位置。在树状数组中，对于Fenwick_Tree[x]，它一定等于：

∑i=x−lowbit(x)xAi。

区间求和

那么对于[1,x]的区间求和问题，我们只需要反复执行上一过程，即可求得。若要求[x,y]的区间和，那么可以由：

∑i=1yAi−∑i=1x−1Ai=∑i=xyAi

如上的明显的性质，来求给定区间的区间和。

单点修改

也很明显。这里不讨论。

例题

CodeVS1080 线段树练习1

题面

题解

拒绝解释

#include "iostream"
#include "cstring"
using namespace std;
int c[1000001];

int N,T;
inline int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
}
int sum(int n)
{
int Ans=0;
while(n>0)
{
Ans+=c
;
n-=lowbit(n);
}
return Ans;
}
void change(int i,int x)
{
while(i<=N)
{
c[i]=c[i]+x;
i=i+lowbit(i);
}
}
int main()
{
cin >> N;
memset(c,0,sizeof(c));
for ( int i=1;i<=N;i++)
{
cin >> T;
change(i,T);
}
cin >> T;
int l,r,op,x,a;
for ( int i=1;i<=T;i++)
{
cin >> op;
if(op==1)
{
cin >> x >> a;
change(x,a);
}
if(op==2)
{
cin >> l >> r;
cout << sum(r) - sum(l-1) << endl;
}
}
return 0;
}

URAL1028 STAR

题面

题解

经典老题

我们将星星按横坐标排序，每次统计高度小于等于当前星星的星星个数，然后再单点修改一下这个高度对应的所有的Fenwick_Tree的值即可， O( N log N ) 左右。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <utility>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int N;
int a[32002];
int lowbit(int x)
{
return x^(x&(x-1));
}

void update( int i )
{
while(i<=32001)
{
a[i]++;
i+=lowbit(i);
}
return ;
}
int query( int i )
{
int Ans=0;
while(i>0)
{
Ans+=a[i];
i-=lowbit(i);
}
return Ans;
}
int in()
{
char ch=getchar();
int Ans=0;
while(ch>'9'||ch<'0') ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9')
{
Ans=Ans*10+ch-'0';
ch=getchar();
}
return Ans;
}
pair < int , int > stars[15001];
int level[15001];
int main()
{
N=in();
for ( int i=1;i<=N;i++)
{
stars[i].first=in();
stars[i].second=in();
}
sort(stars+1,stars+1+N);
memset(a,0,sizeof(a));
memset(level,0,sizeof(level));
for ( int i=1;i<=N;i++)
{
level[query(stars[i].second+1)]++;
update(stars[i].second+1);
}
for ( int i=0;i<=N-1;i++)
printf("%d\n",level[i]);
return 0;
}